城市经济发展与竞争的博弈分析(6)

??U1??q?a1?2r1q11?r1q21?c1?0?11??U1?a2?2r2q12?r2q22?c2?0???q12（4.5） ??U?2?a?rq?2rq?c?011111211??q21???U2?a?rq?2rq?c?022122222???q22求解上述反应函数，得到纳什均衡结果为：

q11?q21?q12?q22?a1?c13r1a2?c23r2a?2c1a?2c2p1?1,p2?23322??a1?c1?a2?c2?U1?U2??9r19r2（4.6）

则两城市的策略?(4.2.2结论

?a1?c1a2?c2a1?c1a2?c2?,),(,)?为唯一的纳什均衡。 3r3r3r3r1222??为了对此博弈结果进行效率评价，我们只从产业发展角度，求使产业收益最大的产业产品产量。设产业1的总产量为Q1，则产业1的总收益为：

Uk1?(p1?c1)Q1（4.7）

??a1?r1Q1?c1?Q1

为使其收益最大，也就是：

MaxUk1??p1?c1?Q1（4.8）

Q1??a1?r1Q1?c1?Q1

s.t.Q1?0

通过求解目标函数的偏导数，求得：

?Uk1?a1?2r1Q1?c1?0（4.9） ?Q121

解得：

(a1?c1)2a?ca1?c1Q1?Uk1?,p1?11（4.10）

2r14r12同理，可求得使产业2总体收益最大化的产量

(a2?c2)2a?ca2?c2Q2?Uk2?,p2?22（4.11）

2r24r22通过和古诺产业产量对比，此时Q1?a1?c12(a1?c1)?q11?q21?，2r13r1(a1?c1)22(a1?c1)2Uk1??p1(q11?q21)?，由此可知，此时产业1产量减少，利

4r19r1润却得到提高；同理得出产业2产出的产量减少，利润提高。也就是说从两个城市总体看，根据总体收益最大化确定产业产量收益最高，就是两城市在完全分工的基础上合作，两城市将得到更多的收益。但是，根据纳什均衡的性质，我们可以知道，尽管两城市完全分工，分别发展不同的产业，两城市的总体收益最高，但是如果缺乏强有力的约束和有效的协调机制，上述这种合作是难以实现的，即使实现也是很不稳定的。

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4.3多维绝对优势城市产业古诺模型与分析

绝对优势是指一个城市较之另一个城市在生产同种商品中所拥有的最高的劳动生产率――表现为单位劳动投入带来的产出率最大。前面已经讨论了两个城市发展条件相似，没有绝对优势情况下的博弈，而在现实情况下，两个城市会存在地域差异如自然资源差异、人口差异等等会导致城市产业出现绝对优势。 4.3.1模型描述与分析

假设有两个发展条件相似的城市(i= 1,2 )，它们分别拥有两个产业(ki=1,2) ；假设产业在不同城市的发展态势不同， 由于地域差异如自然资源差异，劳动力差异等因素，会导致每个城市具有绝对优势的产业也有差异，此时假设cij为i城市j产业的边际成本，同时假设城市1的产业1开发了新技术，导致城市1的产业1拥有更低的边际成本，即c11

c22需求函数仍为：

p1?a1?r1(q11?q21)

p2?a2?r2(q12?q21)

此时城市1、2利润函数为：

U1?p1q11?p2q12?c11q11?c12q12

U2?p1q21?p2q22?c21q21?c22q22在二维古诺博弈竞争中，城市1和城市2博弈优化问题为

Max?pqq11,q12111?p2q12?c11q11?c12q12?

s.t.p1?a1?r1(q11?q21)q11?0,q12?0Max?pqq21,q22121?p2q22?c21q21?c22q22?s.t.p1?a1?r1(q11?q21)p2?a2?r2(q12?q22)q21?0,q22?0

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通过求取目标函数的一阶偏导并令其等于0，可以获取城市目标函数的最大值。可得：

?U1?a1?2r1q11?r1q21?c11?0?q12?U1?a2?2r2q12?r2q22?c12?0?q12

?U2?a1?r1q11?2r1q21?c21?0?q21?U2?a2?r2q12?2r2q22?c22?0?q22求解反应函数，有

11（1）当c12?(a2?c22),c21?(a1?c11)时，解得

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q11?a1?c21?2c11a?c?2c12,q12?2223r13r2a1?c11?2c21a?c?2c22,q22?2123r13r2a1?c11?c21a?c?c,p2?2122233q21?p1?

U122?a1?c21?2c21??a2?c12?2c22???9r19r2U222?a1?c11?2c21??a2?c12?2c22???9r19r2此时，有唯一纳什均衡：

???a1?c21?2c11a2?c22?2c12??a1?c11?2c21a2?c12?2c22?????? ,,,???????3r3r3r3r??1212??????含义是：相对于产品的价格，当边际成本较小时，不具备绝对优势的城市仍然发展少量该产业，此时为不完全分工，但具有绝对优势产业的城市会多生产优势产品，即q11?q21,q22?q12。

（2）当c12?1?a2?c22?,c21?1?a1?a11?，可解得 22

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q11?a1?c11,q12?02r1a2?c222r2q21?0,q22?

p1?a1?c11a?c,p2?222222?a2?c22??U12?a1?c11??,U4r124r2

此时，有唯一纳什均衡：

???a1?c11??a2?c22??????,0,0,??? ????2r2???????2r1?这表明当产业边际成本很大时，对于不具备绝对优势的城市而言，发展该产业不经济，此时就会出现完全分工现象。即城市1和城市2都只发展自己具有优势的产业，形成垄断。与情况（1）相，可发现此时对于产业而言，产业产品价格高，产量低，总体收益高。总的来说，效率最高。 （3）当c12??a2?c22?,c21??a1?c11?时，解得

q11?a1?c21?2c11,q12?03r1a1?c11?2c21a?c,q22?2223r12r2a1?c11?c21a?c,p2?222321212q21?p1?

U12?a1?c21?2c21??9r1U222?a1?c11?2c21??a2?c22???9r14r2此时，有唯一纳什均衡解：

???a1?c212c11??a1?c11?2c21a2?c22?????? ,o,,???????3r3r2r??112??????博弈结果表明：由于产业1的边际成本相对于城市2而言，处于可容忍范围，此时城市2尽管在产业1上没有绝对优势，仍会少量生产；而产业2的边际成本

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