高考数学公式定理规律汇总(9)

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cos??|(AB?CD)?(BC?DA)|2AC?BD.

125．异面直线所成角

rrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|rr?222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2=

rr（其中?（0???90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

oo126．直线AB与平面所成角

??????AB?m???????arcsin???|AB||m|(m为平面?的法向量).

?127．若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是1、?2A、B,为?ABC的两个内角，则

sin?1?sin?2?(sinA?sinB)sin?22222.

特别地,当?ACB?90时,有

sin?1?sin?2?sin?222?.

?128．若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是1、?2A'、B'?ABO,为的两个内角，则

tan?1?tan?2?(sinA?sinB)tan?222'2'2.

特别地,当?AOB?90时,有

sin?1?sin?2?sin?222?.

129．二面角??l??的平面角

??????m?nm?n??arccos?????arccos??????|m||n|或|m||n|（m，n为平面?，?的法向量）.

130．三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为角为

?2?1，AB与AC所成的

，AO与AC所成的角为?．则

cos??cos?1cos?2.

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131．三射线定理

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若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ，则有

sin?sin??sin?1?sin?2?2sin?1sin?2cos??2222?1?2,,与二面角的棱所成的角是

;

|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).

?132．空间两点间的距离公式 若A

(x1,y1,z1)，B

(x2,y2,z2)，则

222dA,B????=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

133．点Q到直线l距离 h?1|a|(|a||b|)?(a?b)22????????(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

134．异面直线间的距离

???????|CD?n|?d?l1,l2|n|(

?l,ll,l是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是12上任一点，d为12间的距离).

135．点B到平面?的距离

???????|AB?n|?d?|n|?（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）.

136．异面直线上两点距离公式 d?d?h?m?n?2mncos?.

????????'h?m?n?2mncosEA,AF222222. d?h?m?n?2mncos?222（??E?AA?F）.

'' (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，

'AE?m,AF?n,EF?d).

137．三个向量和的平方公式 ????2?2?2??????2 (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

?1、?2、?3138．长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为则有

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l1、l2、l3，夹角分别为,

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.

l?l1?l2?l3?cos?1?cos?2?cos?3?1?sin?1?sin?2?sin?3?2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 139．面积射影定理 S?S'cos?.

'(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 140．斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是则 ①②

S斜棱柱侧?c1lV斜棱柱?S1lS斜棱柱侧和

V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是

c1和

S1,

.

.

141．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 142．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

143．欧拉定理(欧拉公式)

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：

E?12nF；

E?12mV（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：144．球的半径是R，则

V?43.

?R3其体积,

2其表面积S?4?R． 145．球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接

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球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

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6棱长为a的正四面体的内切球的半径为12146．柱体、锥体的体积

V柱体?1313Sh,外接球的半径为4a.

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

排列组合

147．分类计数原理（加法原理）

N?m1?m2???mn.

148．分步计数原理（乘法原理）

N?m1?m2???mn.

149．排列数公式

n！Anm=n(n?1)?(n?m?1)=(n?m)！.(n，m∈N*，且m?n)．

注:规定0!?1. 150．排列恒等式 (1)

An?(n?m?1)Anmm?1;

(2)(3)(4)(5)

An?mnn?mm?1An?1m;

An?nAn?1nn?1m;

nnAn?An?1?Anmm;

m?1An?1?An?mAn.

(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 151．组合数公式

AnCmnmmn(n?1)?(n?m?1)n！?(n?m)！=m！(n∈N*，m?N，且m?n).

=

Am=

1?2???m152．组合数的两个性质

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(1)

Cnm=

mCnn?m ;

m?1(2)

Cn+

Cn0=

Cn?1m.

注:规定

Cn?1.

153．组合恒等式

Cn?mn?m?1mnn?mnm(1)

Cnm?1;

(2)

Cn?mCn?1m;

(3)

Cn?mCn?1m?1;

n(4)r?0(5)(6)(7)(8)(9)

?Crrn=2;

rrrr?1nCr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1012r.

nCn?Cn?Cn???Cn???Cn?2135024n.

n?1Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2r0r?110rr123nn?1.

.

rCmCn?CmCn???CmCn?Cm?n(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)021222n2.

?C2nn(10).

154．排列数与组合数的关系

An?m！?Cnmm .

155．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有位置）

?An?1?Am?1An?1m1m?1An?1m?1种；②某（特）元不在某位有

An?An?1mm?1（补集思想）

?An?1An?11m?1（着眼

（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定 …… 此处隐藏：2110字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……