2010高考数学常见的新题型选编(9)

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长方体ABCD?A1B1C1D1中，对角线A1C与棱A1A、AA?、?，则1B1、1D1所成的角分别为?、或是：长方体ABCD?A1B1C1D1中，对角线A1Ccos2??cos2??cos2??1，sin2??sin2??sin2??2。

与平面A1B、AA?、?，则co2?s?co2?s?co2?s?2，1C1、1D所成的角分别为?、A1ADD1所成的二sin2??sin2??sin2??1。或是：长方体A1C中，对角面A1ACC1与平面A1ABB1、面角分别为?、?，则cos2??cos2??1。

52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．

(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an?1(n?2， n?N)的关系式； (2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

?，a10这种顺序(3) 设数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a1，a2，a3，的排列作为某种密码，求这种密码的个数．

22(1)解：由等方差数列的定义可知：an?an， n?N)??????5分 ?1?p(n?2(2)证法一：∵{an}是等差数列，设公差为d，则an?an?1?an?1?an?d

2222?an又{an}是等方差数列，∴an?1?an?1?an????????????7分

∴ (an?an?1)(an?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)

即d(an?an?1?an?1?an)??2d2?0， ?????????????10分 ∴d?0，即{an}是常数列．???????????????????11分 证法二：∵{an}是等差数列，设公差为d，则an?an?1?d??○1

22又{an}是等方差数列，设公方差为p，则an?an?1?p??○2????7分 21代入○2得，d?2dan?p?0??○3 ○

2 同理有，d?2dan?1?p?0??○4

2两式相减得：即2d(an?an?1)?2d?0，?????????????10分

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∴d?0，即{an}是常数列．??????????????????11分 证法三：（接证法二○1、○2）

由○1、○2得出：若d?0，则{an}是常数列 ???????8分 若d?0， 则an?dp 是常数, ∴d?0，矛盾????10分 ?22d∴ {an}是常数列． ???????11分

22(3)依题意， an?an， n?N)， ?1?2(n?22a12?4，an?4?2(n?1)?2n?2

∴an?2n?2，或an??2n?2， ???????????13分

即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是29?512种， 故，这种密码共512种．???????????????????16分

53、已知函数f(x)?log1(x?1)，当点P(x0，y0)在y?f(x)的图像上移动时，

2点Q(x0?t?1， y0（)t?R）在函数y?g(x)的图像上移动． 2（1） 若点P坐标为（1，，点Q也在y?f(x)的图像上，求t的值； ?1）（2） 求函数y?g(x)的解析式；

（3） 当t?0时，试探求一个函数h(x)使得f(x)?g(x)?h(x)在限定定义域为

[0， 1)时有最小值而没有最大值．

解：（1）当点P坐标为（1，，点Q的坐标为(?1）

1?t?1， ?1)，????2分

2t?1)，即t?0．??5分 2∵点Q也在y?f(x)的图像上，∴?1?log1(1?2（根据函数y?f(x)的单调性求得t?0，请相应给分） （2）设Q(x， y)在y?g(x)的图像上

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??x?x0?t?1x0?2x?t?1则?，即 ??????????????8分 2y?y0??y?y0?而P(x0，y0)在y?f(x)的图像上，∴y0?log1(x0?1)

2代入得，y?g(x)?log1(2x?t)为所求．?????????????11分

23?x（3）h(x)?log11?x；或h(x)?log2 等． ???????15分

22x?t2x?t12如：当h(x)?log11?x时，

22x?tf(x)?g(x)?h(x)?log1(x?1)?log1(2x?t)?log11?x?log(1?x2)

2222x?t12∵1?x2在[0， 1)单调递减， ∴0?1?x2?1 故 log1(1?x2)?0，

2即f(x)?g(x)?h(x)有最小值0，但没有最大值．?????????18分 （其他答案请相应给分）

（参考思路）在探求h(x)时，要考虑以下因素：①h(x)在[0， 1)上必须有意义（否则不能参加与f(x)?g(x)的和运算）；②由于f(x)和g(x)都是以

1为底的对数，所以构造的函数

2这样与f(x)和g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算；③以h(x)可以是以1为底的对数，

21为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起2见，可以考虑通过乘积消去g(x)；⑤乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线x?1的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了）

，考虑到该二

2次函数的图像与x轴已有了一个公共点(?1 0)，，故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧（否则该二次函数的值在[0，，即若抛物线与x轴的另一个公共点 1)上的值不能恒为正数）是(a， 0)，则1?a?2，且抛物线开口向下．

54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分

别输入正整数m,n时，输出结果记为f(m,n)，且计算装置运算原理如下：

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① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f(1,1)?1；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 试求：

（1）f(m,1)的表达式(m?N)；（2）f(m,n)的表达式(m,n?N)； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f(n,n)能否为2005？

若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。 解：（1）f?m,1??3f?m?1,1??3f?m?2,1????32m?1f?1,1??3m?1

）

（2

f?m,n??f?m,n?1??3?f?m,n?2??3?2???f?m,1??3?n?1??3m?1?3?n?1?

（3）

f?n,n??3n?1?3?n?1? ，∵f?7,7??36?18?747?200，5f?8,8??37?21?2208?2005

∴f(n,n)输出结果不可能为2005。

55、对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k，规定

??a?kn为

?an?的k阶差分数列，其中

?kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。

（1）已知数列?an?的通项公式an?n2?n(n?N),，试判断??an?，?2an是否为等

差或等比数列，为什么？

2n （2）若数列?an?首项a1?1，且满足?an??an?1?an??2(n?N)，求数列?an?的

??通项公式。

12n （3）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。

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解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n?n?2n?2，∴??an?是首项为4，

22??公差为2的等差数列。

?2an?2?n?1??2??2n?2??2

∴?2an是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2）?2an??an?1?an??2n，即?an?1??an??an?1?an??2n，即

???an?an?2n，∴an?1?2an?2n

∵a1?1，∴a2?4?2?2，a3?12?3?22，a4?32?4?2，猜想：