2010高考数学常见的新题型选编(11)

（3）仿照（2）中的结论，讨论当a1，a2，┅，an为实数时，

函数f(x)＝a1|x?x1|＋a2|x?x2|＋┅＋an|x?xn|(x∈R，x1＜x2＜┅＜xn∈R)的最值．

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解：（1）图略；

（2）当x∈（－∞，－3）时，f(x)是减函数，

当x∈[－3，1）时，f(x)是减函数， 当x∈[1，＋∞）时，f(x)是增函数， ∴f(x)min＝min{f(?3)，f(1)}＝4．

（3）当a1＋a2＋┅＋an＜0时，f(x)max＝max{f(x1)，f(x2)，┅，f(xn)}；

当a1＋a2＋┅＋an＞0时，f(x)min＝min{f(x1)，f(x2)，┅，f(xn)}； 当a1＋a2＋┅＋an＝0时，f(x)min＝min{f(x1)，f(xn)}，

f(x)max＝max{f(x1)，f(xn)}．

61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。 答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又

1111(4x?9y)14x9y??(?)(13??) =xyxy6060yx≥

4x9y15?，等于当且仅当，且4x＋9y=60，即x=6且y=4?(13?12)?yx6012时成立，故应分别有6、4。

62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长

???????????度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若OP?xe1?ye2（其中e1、??e2分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.

在平面斜坐标系xoy中，若?xoy?60，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为 . 63、定义运算符号：“

n?7 ”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×?×n

n??记作

?i，(n?Ni?1).记Tn??ai，其中ai为数列{an}(n?N?)中的第i项.

i?1

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①若an?2n?1，则T4= ；105；

②若Tn?n2(n?N?),则an? . n?1,a1?1;n?2,an?(n2) n?164、如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点. （1）求二面角B1-MN-B的正切值； （2）证明：PB⊥平面B1MN；

（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件. 符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一. 答案：

65、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月

份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 90 万只．

月份 9 10 11 养鸡场（个数） 20 50 100 21.51鸡（万只） 各养鸡场注射了疫苗的鸡的数量平均数（只） 月份 9101166、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱

锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.

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请仿照直角三角形以下性质： （1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；

（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； （3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.

写出直角三棱锥相应性质（至少一条）： . 答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；

（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方； （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.

67、定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?，均有

f?x1??f?x2??kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函

数f?x??x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为

1 。 268、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）

（1）求函数y=f(x)的解析式；

（2）利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：

对于给定的定义域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，?，xn= f(xn-1)，?

在上述构造过程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止.

① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求a的取值范围；

② 如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，

求a实数的值.

?x?a?tan?,解：（1）令? 则

y?cot??1.??tan??a?x, ?cot??1?y.?x?1?a，

a?x① ②

①×②，并整理，得 y= ∴y=f(x) =4分

x?1?a， （x≠a）. ????????????

a?x