2010高考数学常见的新题型选编

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2010高考数学常见的新题型选编

1、（Ⅰ）已知函数：f(x)?2n?1(xn?a)?(x?a)n,(x?[0,??),n?N?)求函数f(x)的最小值;

an?bna?bn（Ⅱ）证明:?()(a?0,b?0,n?N?)；

22na1n?a2?a3n???akna?a?a???akn（Ⅲ）定理:若a1,a2,a3?ak 均为正数,则有?(123) 成立

kk(其中k?2,k?N?,k为常数)．请你构造一个函数g(x)，证明：

nnna1n?a2?a3???aka?a?a3???ak?1n?1当a1,a2,a3,?,ak,ak?1均为正数时，?(12)．

k?1k?1解：（Ⅰ）令f'(x)?2n?1nxn?1?n(a?x)n?1?0得(2x)n?1?(a?x)n?1?2x?a?x?x?a…2分 当0?x?a时，2x?x?a ?f'(x)?0 故f(x)在[0,a]上递减．

当x?a,f'(x)?0故f(x)在(a,??)上递增．所以，当x?a时，f(x)的最小值为f(a)?0.….4分

（Ⅱ）由b?0，有f(b)?f(a)?0 即f(b)?2n?1(an?bn)?(a?b)n?0

an?bna?bn故 ?()(a?0,b?0,n?N?)．………………………………………5分

22nnna1n?a2?a3???aka?a?a3???ak?1n?1（Ⅲ）证明:要证： ?(12)

k?1k?1nnnnn只要证：(k?1)n?1(a1?a2?a3???ak?1)?(a1?a2?a3???ak?1)

nnn 设g(x)?(k?1)n?1(a1?a2?a3???xn)?(a1?a2?a3???x)n…………………7分

则g'(x)?(k?1)n?1?nxn?1?n(a1?a2???ak?x)n?1

a1?a2???ak…………………………………………………….8分

ka?a2???ak当0?x?1时，g'(x)?n[(kx?x]n?1?n(a1?a2???ak?x)n?1

k令g'(x)?0得x??n(a1?a2???ak?x)n?1?n(a1?a2???ak?x)n?1?0

a1?a2???aka?a???ak]上递减，类似地可证g(x)在(12,??)递增

kka?a2???aka?a???ak所以当x?1时，g(x)的最小值为g(12)………………10分

kk故g(x)在[0,

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a1?a2???aka?a???akna?a???akn)?(k?1)n?1[a1n?a2n???akn?(12)]?(a1?a2???ak?12) kkk(k?1)n?1nnnn=[k(a1?a2???ak)?(a1?a2???ak)n?(k?1)(a1?a2???ak)n] nk(k?1)n?1nnn(k?1)n?1n?1nnnn=[k(a1?a2???ak)?k(a1?a2???ak)]=n?1[k(a1?a2???akn)?(a1?a2???ak)n] nkka?a???aknnn由定理知: kn?1(a1?a2???ak)?(a1?a2???ak)n?0 故g(12)?0

ka?a???ak?ak?1?[0,??)?g(ak?1)?g(12)?0

k而g(nnnnn故(k?1)n?1(a1?a2?a3???ak?1)?(a1?a2?a3???ak?1)

nnna1n?a2?a3???aka?a?a3???ak?1n?1即: ?(12).…………………………..14分

k?1k?1

2、用类比推理的方法填表 等差数列?an?中 等比数列?bn?中 a3＝a2?d a3?a4?a2?a5 a1?a2?a3?a4?a5?5a3 答案：b1?b2?b3?b4?b5?b3

5b3?b2?q b3?b4?b2?b5 3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于

A．n B．n+1 C．n -1 D．n 答案：D

4、若f(n)为n?1(n?N*)的各位数字之和，如：14?1?197，1?9?7?17，则

222f(14)?17;记

f1(n)?f(n),f2(n)?f(f1(n)),?,fk?1(n)?f(fk(n)),k?N*,则f2008(8)?____

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答案：5

5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

a a a a a

a a a a

a

2a2a（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA?面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小； （3）求点D到面SEC的距离。

（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）??????3分

证明：?SA?AB,SA?AD,且AB、AD是面ABCD内的交线?SA?底面

S ABCD????????5分

（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA,?AF//EG 而由SA?面ABCD得SA?CD，

又AD?CD，?CD?面SAD，?CD?AF 又SA=AD,F是中点，?AF?SD

?AF?面SCD,EG?面SCD,?面SEC?面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90????10分

(3)作DH?SC于H，

?F G A E B

H C D ? 面SEC?面SCD,?DH?面SEC,

?DH之长即为点D到面SEC的距离，12分

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2a?a?6a

?在Rt?SCD中，DH?SD?DC?SC33a答：点D到面SEC的距离为

6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列?n?(n?1)中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列?an?，结果表明：①从A口输入n?1时，从B口得a1?6?????????14分 a31；②当n?2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an?1先乘3以自然数列?n?中的第n?1个奇数，再除以自然数列?an?中的第n?1个奇数。试问：

（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ （2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。 解（1）a2?a1?1?5?11 a3?a2?3?7? 15351(n?N*)

(2n?1)(2n?1) （2）先用累乖法得an?得a100?11?

(2?100?1)(2?100?1)399997、在△ABC中，B(?2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

条件 ①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10 方程 C1：y2?25 C2：x2?y2?4(y?0) ③△ABC中，∠A=90° x2y2C3：??1(y?0) 95则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号C1、C2、C3填入） 答案：C3C1C2

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8、已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x f（x）

填写下列g[f(x)]的表格,其三个数依次为

x g (f（x）) 1 2 3

A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 答案：D

9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“?”如下：

当a?b时，a?b?a； 当a?b时，a?b?b。

则函数f(x)?(1?x)·x?(2?x)x??2，2的最大值等于（ C ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. ?1

B. 1

C. 6

D. 12

21 2 2 3 3 1 x g（x） 1 1 2 3 3 2 ????10、已知x?R，［x］表示不大于x的最大整数，如[?]?3，[?]??1，[]?0，则

1212[?3]?_____________；使[x?1]?3成立的x的取值范围是_____________ 答案：2

11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y?x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：

（I）首先选取如下函数： y?2x?1，y?2x，y??x?1 x?1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：