2010高考数学常见的新题型选编(5)

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试写出一个解集为P?Q的不等式。

（文）设P表示幂函数y?xc2?6c?8在?0,???上是增函数的c的集合；Q表示不等式

x?1?x?4?c对任意x?R恒成立的c的集合。（1）求P?Q；（2）试写出一个解集

为P?Q的不等式。

解：（理）（1）∵幂函数y?xc2?5c?6在?0,???上是增函数，∴c?5c?6?0，即

2P????,2???3,???，

又不等式x?1?x?2c?1对任意x?R恒成立，∴2c?1?1，即

Q????,0???1,???，

∴P?Q????,0???1,2???3,??? 。

（2）一个解集为P?Q的不等式可以是 x?x?1??x?2??x?3??0 。 （文）（1）∵幂函数y?xc2?6c?8在?0,???上是增函数，∴c?6c?8?0，即

2P????,2???4,???，

又不等式x?1?x?4?c对任意x?R恒成立，∴c?3，即

Q????,3?，

∴P?Q????,3???4,??? 。 （2）一个解集为P?Q的不等式可以是 35、（理）已知

x?3?0 。 x?413x,x???2,2?,a为正常数。 2a?b? （1）可以证明：定理“若a、b?R，则”?ab（当且仅当a?b时取等号）

2f?x??a2x?推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若f?x??0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y?f?x?的单调性（无需证明）；

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（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在D?xx??2,且x?4k?2,k?N上的函数g?x?，使当x???2,2?时，

??g?x??f?x?，当x?D时，g?x?取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数

列。

解：（1）若a、b、c?R，则 （2）f?x??ax?2?a?b?c3。 ?abc（当且仅当a?b?c时取等号）

3131?12?2即a?x在?0,2?x?x?a2?x2??0在?0,2?上恒成立，

22?2?上恒成立，

∵

12x??0,2?，∴a2?2，即a?2， 23又∵

?f?x??2?2?212??212??23?x??a?2x???a?2x????112a?????????????x2?a2?x2??a2?x2?????2??2??3???3?????∴x?a?22612a时， x，即x?323263936?6?6??a?， fmax?a?1?a3??????94226?2?又∵x?6a??0,2?，∴a?0,6。 综上，得a?3???2,6 。

? 易知，f?x?是奇函数，∵x?有最小值。

66a时，函数有最大值，∴x??a时，函数33x???2,?故猜测：