2010高考数学常见的新题型选编(6)

???63??6??66?a???a,2?x??a,a?时，时，f?x?单调递减；??3???3??3f?x?单调递增。

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（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如

对

x??4k?2,4k?2?,k?N，

x?4k???2,2?，此时

g?x??g?x?4k??f?x?4k?，

即 g?x??a2?x?4k??1?x?4k?3,x??4k?2,4k?2?,k?N 。 2222（文）已知函数f?x??ax?24?2b?bx，g?x???1??x?a?，?a,b?R?

（Ⅰ）当b?0时，若f?x?在?2,???上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对?a,b?：当a是整数时，存在x0，使得f?x0?是f?x?的最大值，g?x0?是g?x?的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D??x|x??2，且

x?2k?2,k?N?上的函数h?x?，使当x???2,0?时，h?x??f?x?，当x?D时，h?x?取

得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列。 解：（Ⅰ）当b?0时，f?x??ax?4x，

2若a?0，f?x???4x，则f?x?在?2,???上单调递减，不符题意。

?0??a故a?0，要使f?x?在?2,???上单调递增，必须满足?4 ，∴a?1 。

?2??2a（Ⅱ）若a?0，f?x???24?2b?bx，则f?x?无最大值，故a?0，∴f?x?为

2二次函数，

要使f?x?有最大值，必须满足??a?02?4?2b?b?0，即a?0且1?5?b?1?5，

此时，x?x0?4?2b?b2时，f?x?有最大值。

a4?2b?b2?a?Z， 又g?x?取最小值时，x?x0?a，依题意，有

a

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则a?24?2b?b2?5??b?1?，

2∵a?0且1?5?b?1?5，∴0?a?或b?3。

∴满足条件的实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?。

25?a?Z?，得a??1，此时b??1（Ⅲ）当实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?时，f?x???x?2x

2依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对x??2k?2,2k?，k?N,x?2k???2,0?，

此时，h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?，

2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?N。

236、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义Tn?S1?S2?S3???Snn为数列{an}的“凯森和”， 如

果有99项的数列a1、a2、a3、?、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a1、a2、a3、a4、?a99的“凯森和”T100= 991 。 37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

2?1 已知a1,a2?R，a1?a2?1，求证a12?a22，

证明：构造函数f(x)?(x?a1)?(x?a2)

f(x)?2x2?2(a1?a2)x?a1?a2?2x2?2x?a1?a2 因为对一切x?R，恒有f(x)≥0，所以??4?8(a1?a2)≤0,

22 从而得a1?a2?12，

22222222 （1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。 解：（1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，

222求证：a1?a2???an?1n (4?)

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（2）证明：构造函数f(x)?(x?a1)2?(x?a2)2???(x?an)2 (6?)

22 ?nx2?2(a1?a2???an)x?a12?a2 (9?) ???an22 (11?) ?nx2?2x?a12?a2???an222 因为对一切x?R，都有f(x)≥0，所以△=4?4n(a1?a2???an)≤

0,

22 从而证得：a12?a2???an?1n. (14?)

38、已知两个向量a?(1?log2x,log2x)，b?(log2x,t) (x?0). （1）若t=1且a?b，求实数x的值； （2）对t?R写出函数f(x)?a?b具备的性质.

解：（1）由已知得log22x?2log2x?0 ??2分 log2x?0或log2x??2 ??4分

解得x??1，或x??1 ??6分 4（2）f(x)?log22x?(1?t)log2x ??8分 具备的性质： ①偶函数；

?1?t②当log2x??即x??221?t2(1?t)2（1?t)2时，f(x)取得最小值?（写出值域为[?，??)也

44可）；

③单调性：在(0,2(??,?2?1?t2?1?t2]上递减，[2?1?t2,??)上递增；由对称性，在[?2?1?t2,0)上递增，在

]递减 ??14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（x??1，x??2?(1?t)）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

39、对于集合N={1, 2, 3,?, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6,