2010高考数学常见的新题型选编(2)

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x?1的交点坐标为（－1，－1） 22xx y?与其反函数y?的交点坐标为（0，0），（1，1）

x?12?x y?2x?1与其反函数y? y??x?1与其反函数y?x2?1，(x?0)的交点坐标为（1，0），（0，－1）

（II）观察分析上述结果得到研究结论； （III）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II）和（III）。

解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上

2分

1?51?5），（－，22 （III）证明：设点（a，b）是f(x)的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是f(x)的图象与其反函数图象的交点，且有

b?f(a)，a?f(b)

若a＝b时，交点显然在直线y?x上

若a 若a 综上所述，如果函数f(x)是增函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y?x上；

如果函数f(x)是减函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上。

12、设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；②

14分

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函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1.” （I）判断函数f(x)?xsinx是否是集合M中的元素，并说明理由； ?24 （II）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意

[m，n]?D，都存在x0?[m，n]，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立”， 试用这一性质证明：方程f(x)?x?0只有一个实数根；

（III）设x1是方程f(x)?x?0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的

x2,x3,当|x2?x1|?1,且|x3?x1|?1时,|f(x3)?f(x2)|?2.

解：（1）因为f?(x)?

11?cosx，????2分 2413所以f?(x)?[,]满足条件0?f?(x)?1,??????3分

44又因为当x?0时，f(0)?0，所以方程f(x)?x?0有实数根0. 所以函数f(x)?xsinx是集合M中的元素.????4分 ?24 （2）假设方程f(x)?x?0存在两个实数根?,?(???），

则f(?)???0,f(?)???0，???5分 不妨设???，根据题意存在数c?(?,?), 使得等式f(?)?f(?)?f(???)f?(c)成立，????????7分 因为f(?)??,f(?)??,且???，所以f?(c)?1，

与已知0?f?(x)?1矛盾，所以方程f(x)?x?0只有一个实数根；????9分 （3）不妨设x2?x3，因为f?(x)?0,所以f(x)为增函数，所以f(x2)?f(x3)， 又因为f?(x)?1?0，所以函数f(x)?x为减函数，??????10分 所以f(x2)?x2?f(x3)?x3，????11分

所以0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|,????12分 所以|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|?|x3?x1?(x2?x1)?|x3?x1|?|x2?x1|?2.

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??????????13分

13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最

小，则这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长 为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S, D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P，Q，R，S四点重合，则需要 个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为f(x)?．．（Ⅰ）试解释f(0)的实际意义；

（Ⅱ）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．

答案：解：（I）f（0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．?????2＇ （Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后．残留的农药量

1． 21?x1；??????????????????????????4＇ 1?a2aa1又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f（）=，

a221?()22a此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为

216a11W2=·f（）=[]2=．???????????8＇ 22a2a22(4?a)1?()1?()22为 W1=1×f（a）=

a2(a2?8)161由于W1－W2=－=，?????????9＇ 222222(1?a)(4?a)(4?a)1?a故当a>22时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留

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的农药量较少；当a=22时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<22时，W1

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：

① f(x)=sinx； ②f(x)=π(x－1)2+3； ③f(x)?()x; ④f(x)?log0.6x， 其中是一阶格点函数的有 . 答案：①②④

17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点, 该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量

甲 乙 丙 …… 此处隐藏：694字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……