高考数学解题破题36计(8)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：【思考2】取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1, f(x)?f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即 1f(?x), 当x 0. 由条件：f (-x)>1, 故x ?【例3】若A, B, C是△ABC的三个内角，且A A.si

【思考2】取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1,

f(x)?f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即

1f(?x), 当x<0时，-x>0.

由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.

?【例3】若A, B, C是△ABC的三个内角，且A

A.sinA

【思考】本题的模特是取特殊角. 令A=30°, B= 45°,C=105°, 则cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故选A.

【点评】此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？

●对应训练

1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是（） A．fC．f?1(x)?1?5x B. f(x)??1?5x?2 D. f?1(x)?1?5x?2 (x)?1?5x?2

?1?12.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是（）

NA．M:a?b.?cB.M:a?b,?:ac2?bc2. ?d.?N:a?d?b?c.

c?d?0.?N:ac?bd. C.M:a?b?0,?ND.M:|a?b|?|a|?|b|.?:ab?0.

3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图（1）所示，则y= f (x)2g(x)的大致图像为（）



第3题图（1）第3题图（2）

●参考答案

1.B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的图像上，（1，0）在f

?1(x)的图像上，将（1，0）

代入各选项，仅B适合， ∴选B.

点评题干和选项都那么复杂，解法却如此简明.你能发现（0，1）.就能找出（1，0），解题就需要这种悟性，说到底，还是能力.

2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，条件不必要.

3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数（图（1）中图像关于y轴对称），g(x)为奇函数（图（2）中图像关于原点对称）. ∴y= f (x)2g(x)为奇函数，其图像应关于原点对称，排除A、C，取x∈(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图（2）知g(x)<0,故当x∈(-2, -1)时，应有y= f (x)2g(x)<0. 选B. 点评无须弄清图（1）、图（2）到底表示什么函数，不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)2g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意，选定特殊区间（-2，-1）一次检验即解决问题. 第8计小姐开门何等轻松 ●计名释义

有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗. 后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！” 大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？” 小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”

数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.

●典例示范

【例1】求证：抛物线没有渐近线.

【分析】二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.

抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？

y2【证明】不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x=2p, 代入直线方程，化

简得：ky2-2py+2pb=0. ①

11?0,?令?y?yy可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y0, 那么，y0→∞,或0,

方程①化为：2pby′2-2py′+k=0. ②

方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.

于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公

b2,?b共点(2p), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.

【例2】设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.

【分析】平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！

【解答】假定△ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2≠x1, ∵

y2?y1y?y1y?y1?2(x?x1).x?xx?x1, ∴直线AB的方程为：21kAB=2

即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.

d?x3(y2?y1)?y3(x2?x1)?x2y1?x1y2(x2?x1)?(y2?y1)(x2?x1)2?(y2?y1)222.

但是|AB|=

1|AB|?d∴S△ABC =2= (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).

即S△ABC为有理数.另一方面，

33|AB|2?[(x2?x1)2?(y2?y1)2].4S△ABC =4 ①

∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②

①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.

1.2【例3】设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于 11【分析】三数中至少有一个不小于2的情况有七种，而三数中“都小于2”的情况只有一种，可见“正

面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.

111【解答】假定同时有：| f (1)|<2、| f (2)|<2、| f (3)|<2, 那么： 11?1?3??1?a?a???a?a???1212?2?222??17?1?9???4?2a1?a2?????2a1?a2???22?2?2117?1?19??9?3a?a???3a?a???1212?2?22??2①②③

①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④ ②32: -9<4a1+2a2<-7 ⑤ ④与⑤矛盾，从而结论成立.

【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.

遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.

一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.

●对应训练

1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.

?2.已知α、β∈(0, 2), 且sin(α+β)=2sinα.求证：α<β.

111,?,?bc不能组成等差数列. 3.设a>b>c>0, 且a、b、c成等差数列，试证明：a12x?124.求证：抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点.

●参考答案

1．正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:

2?y1?y21?y1?x122?y?y?x?x?k??.?21212ABx1?x2y1?y2??y2?x2

1k?设直线l:y-1=k(x- …… 此处隐藏：2332字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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