高考数学解题破题36计(14)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读： (3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平; (4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+?+(xn - Eξ)2pn+?，方差反映了

(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;

(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+?+(xn - Eξ)2pn+?，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.

【解答】 (1)基本事件总数全是白球}.

∵A与A为对立事件，而CardA=1(任取3球全是白球仅一种可能).

3n=C7=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件A ={任取3球，

341.3535AA∴P()=,于是P (A)=1-P ()=

34.即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为35

1C343?C4?;435C7(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3310+1320=50),∴P (ξ=50)= 2C3?C2184?;435 C7ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2310+2320=60), ∴P (ξ=60)=

1C3124C3?;435C7ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3320+1310=70), ∴P (ξ=70)=

C414?.435 Cξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= 7于是ξ的分布列为：

50 ξ

P 460

1835 1235 135

418121440∴Dξ=50335+60335+70335+80335=7(元). 440即该顾客获奖的期望是7≈63(元).

●对应训练

x2y2?2?12ab1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点，求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.



2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相

切.

3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质: (1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.

4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案

11如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|=2|MF2|(中位线性质） 11∴|PF1| - |PO|=2(|MF1| - |MF2|)=222a= a,

即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.

2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.

11则|OP|=2|MF2|=2(2a-|MF1|)= a-r

∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

第1题解图第2题解图 3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+?+xn pn,

∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+?+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+?+xn pn)+b(p1+p2+?+pn) = aEξ+b (∵p1+p2+?+pn=1).

（2）Dξ=(x1 - Eξ)22p1+(x2 - Eξ)2p2+?+(xn - Eξ)2pn+?

21=（x

2p1+x22p2+?+xnpn+?）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?)+E2ξ(p1+p2+?+pn+?)

=Eξ2-2Eξ2Eξ+E2ξ21=Eξ2 - E2ξ.

?p?0??,?4如图所示，抛物线焦点F?2?，

?准线l:x=

p2,作MH⊥l于H，FM中点

为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y 轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.

111(|OF|?|MN|)?|MH|?|MF|?r,22∴|PQ|=2

∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图

第14计鲜花开门情有独钟 ●计名释义

冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？

数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？ ●典例示范

【例1】 P点在平面内作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10），求5秒后P点的位置.

【分析】本质是对P点运动的速度向量 v=（4，3）的理解：因为P点按匀速直线

运动，每秒位移是5.从速度分解观点看，例1题图每秒P向右移4，向下移3.

【解答】 5秒P向右移20，下移15，设P点5秒后到P′（x, y). x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P′（10，-5）.

【点评】这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.

?【插语】如果不按上述方式，而是从寻找PP?=5v=(20,-15), 再求OP?=OP?+PP,

当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数. 【例2】（042全国Ⅰ卷）函数y=x?1+1(x?1)的反函数是 ( )

A．y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x?1) C．y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x?1) 【解答】本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x?1时，y?1.∴反函数的定义域为x?1，排除A、C.∵点（5，3）在f (x)的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,∴选B.

【点评】与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.

【例3】下列各式中，最小值为2的是 ( )

1ba?sinx?sin A．x?4 B.a?b C.ab D.

2x2?5a?b?2【思考】利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：

（1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.

x2?5∵

x2?4?x2?4?1x2?4,?x2?4?2,?而1x2?4?1,2

x2?4?故

∴选B.

ba1?0,??0,x2?4故否定A；b当a,b异号时，a否定C；当sinx<0时，亦有sin<0,否定D；

,1?a?b?2??????2a?b?min【点评】可用直接法证明?，∵a,?b存在且在分母中出现，∴ab>0.又?a?b?2??????2a?b?mina+b+2=(a+1)+(b+1)?2(a?b)，∴a?b?2. 当且仅当a=b=1时?

a?b?2【例4】已知四边形ABCD

为矩形且AB≠BC, PA⊥平面ABCD, 连接 AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量

积不为零的是 ( ) A．PC与BD B.DA与PB

C.PD与AB D.PA与CD 例4题图

【思考】利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.

图中PA?平面ABCD???DA?PB,?排除B;?DA?AB?? 

同理,PD?AB,?排除C. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA?CD，排除D，选A.

【点评】可用反证法证明PC与BD不垂直, 假定PC?BD.∵PA⊥平面ABCD, ∴BD?AC, 四边形ABCD是正方形, 这与题设AB≠BC矛盾. ●对应训练

x1.若f (x)sinx是周期为π的偶函数，则f (x)可以是①sinx, ②cosx， ③cotx， ④tan2中的( )

A.①② B.①④ C.③④ D.①

a?bb?2a; ③(a2b)2=a22b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若a2b=0,则a=0或a2.下列五个命题：①|a|=a2; ②

b=0.其中正确命题的序号是（）

A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 3.已知等比数列{an}的公比为q,下 …… 此处隐藏：2930字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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