高考数学解题破题36计(6)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读： 133,44）选C者,误在|（2a|=1. 选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行. 【评说】本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”. ●对应训练 1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,

133,44）选C者,误在|（2a|=1.

选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.

【评说】本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.

●对应训练

1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x2f(x)<0}等于（） A.{x|x>3或-33或x<-3} D.{x|0

2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)

●参考答案

1.分析由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.

解析一由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x2f(x)<0的解集为{x|0

(1) (2)

解析二由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为

?x?0?f(x)?0R上的奇函数,∴x2f(x)为偶函数,∴不等式x2f(x)<0的解集关于原点对称,故先解?借助图象得0

由对称性得x2f(x)<0的解集为{x|0

解析三借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x2f(x)<0,排除A、C;又奇2奇=偶,∴x2f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二. 奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)2奇(偶)=偶.

数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.

2.【分析】排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.

【通解】考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有

5A5种

5A5排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有

12C423A3种，故满足条件的排法种数共有

3A3=20.

【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类: 第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有

=8种方法.

第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C4=12种方法.

【评说】先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.

【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f. 第1步考虑元素x到位，有5种可能； 第2步考虑元素y到位，有4种可能； 第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能. 由乘法原理，方法总数为534=20种.

【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.

【别解】设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有

P5PxP3=P5?x=3=534=20.

【评说】别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.

第6计勇士开门手脚咚咚 ●计名释义

一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.” 勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”

考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.

●典例示范

????33??4,?4??4y?sinycosy?a?0则cos (x+2y)的x?sinx?2a?0,???【例1】已知x,y∈, a∈R，且,

值为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【思考】代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？

3??x?sinx?2a?0??(?2y)3?sin(?2y)?2a?0?解：由条件得：

????????t???2,?2???????. ∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根

【插语】这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?

????3??2,?2??时，y1?t,y2?sint均为增函数，而-2a为常数.∴设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈?????f(t)是??,???22?上的单调增函数.

∵f (x)= f (-2y)=0.

∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.

【点评】想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.

【例2】已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(3,-1) ，则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( ) A.42,0 B.4,22 C.16,0 D.4,0

22x?y?1上运动时，延OA到C，使|OC|=2|OA|=2a, 求【解答】如图，点A(cosθ,sinθ)在圆

|OC?OB|的最值，

显然|OC|?|OB|?2.当OC1与OB 反向时有最大值4,OC2与OB同向时有

最小值0. ∴选D.

【点评】本例

解题思想很简单，谁不知道“三角形两边

之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢，例2题解图为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当 △BOC不复存在时，才有可能取得.

【例3】设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

【解答】设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在R上为增函数.

∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)2g (x).=-F(x). 故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在R上亦为增函数. 已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.

?构造如图的F（x）的图象，可知例3题解图 F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3). 【点评】本例选自042湖南卷12题, 是小题中的压轴题，显然，不懂得

导数基本知识对待本例是无能为力的，高中

代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.

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