高考数学解题破题36计(10)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：【续解】 31?2x1?31?2x2 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)] (31?2x1?31?2x2)(3(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2)=易知 33(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2=△>0. (1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3

【续解】

31?2x1?31?2x2 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]

(31?2x1?31?2x2)(3(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2)=易知

33(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2=△>0.

(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)22(x1?x2)?故有原式=<0.

故f (x)=

31?2x的增区间为（-∞,+∞).

【点评】耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，

可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ?1”的概率.

【思考】本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.

C314?35;P(ξC【解答】（Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=6121C?CC2C134242??335，故ξ的分布列是： 5CC66=1)=；P (ξ=2)=

（Ⅱ）ξ的数学期望是：

0 1 2

15 35 15

131Eξ=035+135+235=1.

4(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ?1的概率是：P（ξ?1）=P (ξ=0)+P(=1)=5.

【例3】（042上海，20文）如图，

11直线y=2x与抛物线y=8x2 - 4交于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q. (1)求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于AB下方（含点A、B）的动点时，

求△OPQ的面积的最大值.

【思考】同例1一样，本题设问明确，例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.

12?y?x?4,??8?x2?4x?32?0.??y?1x?2【解答】（1）由?

x1?x21?22设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=2x0=1.

故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).



(2)由（1）知|OQ|=52为定值.

1?8设P(x，x2-2)为抛物线上AB上一点，由（1）知x2-4x-32?0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：

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