高考数学解题破题36计(16)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：【说明】此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”. 6【续解】故HG是BG与DB1的公垂线.且长度6为它们的距离. 【点评】这两条对角线异面.在

【说明】此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.

6【续解】故HG是BG与DB1的公垂线.且长度6为它们的距离.

【点评】这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.

●对应训练

1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方（）A可能有无数多个实数解 B至多有两个实数解 C至少有一个实数解 D至多有一个实数解 2.空间（填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm. ●参考答案

1.D 由于a与b不共线，所以可设c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax2+bx+c=0得

?x2?m?0,?x?n?0,ax2+bx+(ma+nb)=0，即（x2+m) a+(x+n) b=0,又a与b不共线，故有?

?x2??m,?x2?m?0,??x??n,x?n?0即? 显然，当m>0时，原方程无实数解；当n2=-m?0时，?有一个实数解.故应

选D.

【说明】此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.

2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.

在空间中，分别以8、10、13为边长，

作如图所示平面四边形，它由△ABC和△BCD 组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm， AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，

令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于第2题解图

1△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=-32,即可知∠BAC是钝

角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD

显然，当点D不在面ABC内时都有AD

【点评】这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.

第16计摆渡开门萍水相逢 ●计名释义

5有道数学题，求证π>2. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在

他已经指定了一个第三者，就是整数3.

55因为π>3，又3>2，所以π>2.

这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等. ●典例示范

(x?1)2(y?3)2??162【例1】已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.

【分析】一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0

的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程. 此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.

?x??y?1(x??1)2(y??3)2???1.y??x?1?62【解答】由x-y+1=0得代入C的方程得

(y?2)2(x?4)2??1.62即得C1的方程得

【点评】对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.



【例2】长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程. 【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：

2??y1?y2?(x1?x2)(x1?x2)?y1?x1???22??y1?y2?(x1?x2)?2x1x2 ?y2?x2?x1?x2?2x?y?y2?2y设AB中点为M(x,y)，那么:?1，

22??y1?y2?2x(x1?x2)?(y1?y2)?4x(x1?x2)???22y?4x?2xx?x1x2?2x2?y12??有:

∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］ =（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］

1.2已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+1?4x

【点评】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标

实施“设而不求”.

x2y2???12b2【例3】椭圆a(a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α=4的直线l交椭圆于A、B两点，已知?11???,??AB的中点为M?24?.

（1）求椭圆的方程；

3（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=4的两点，求证：|kOP2kOQ|为定值.

【分析】按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大. 请欣赏如下解法：

a2?1,【解】（1）椭圆的右准线为x=1，即c∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.

x2y2??1.c(1?c)所求椭圆应为：c 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①

设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:

22??(1?c)x1?y1?c(1?c)?(1?c)(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0?22??(1?c)x2?y2?c(1?c)y?y2(1?c)(x1?x2)?1?????②x1?x2y1?y2

y1?y2??11?1?tan?1??,??.x?x424??122∵kAB=，又AB中点为M，∴x1+x2=-1，y1+y2=

(1?c)(?1)11111.2以上全代入②：1=, ∴1-c=2，c=2，代入①：2x2+y2=4

?所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.

（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).

?2112y1??x1??2x?4y?1??42???2?2??2x2?4y2?1?y2?1?1x222?42?有：

2121?③

332222∴|OP|2+|OQ|2=4, ∴(x1+y1)+(x2+y2)=4 ④

113222222121③代入④：x+x+-（x+x2）=4,

21∴x

2+x21=2.

(kOP2y12y2112?kOQ)?22?22?(1?2x2)x1x2x1x24??∵

??122[1?2(x12?x2)?4x12x2]2216x1x21122?4xx?.122416x12x2

1故|kOP2kOQ|=2为定值.

【点评】本解的优点是：

1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；

2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例4】设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. 【分析】（1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四 …… 此处隐藏：3172字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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