高考数学解题破题36计(12)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：【分析】这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生. 【解答】因为f (n) ?x1?n?x2,??x1?x2??1,?xx?a?0.则?12 所以-1 0, 例3题图于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0

【分析】这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.

【解答】因为f (n)<0，所以函数 f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个相异交点，如图所示，设横坐标为 x1、x2且x1

?x1?n?x2,??x1?x2??1,?xx?a?0.则?12

所以-10, 例3题图于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).

【点评】利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.

【例4】过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点. 【解答】因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.

?2p2p??2,??k?,将OB方程代设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为?k1入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2,

?-2pk).

kk2(x?2pk)?2pk?(x?2p),221?k因而lAB：y=1?k

故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.

【点评】找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.

1.【例5】已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2?3

111??,?y???,?z???33【解答】运用均值代换法.令x=3, 则α+β+γ=0, 所以 121?(?????)??2??2??2?3 x2+y2+z2=331(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z=3时“=”成立).

【点评】运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.

●对应训练

x2y2??11.已知M是椭圆1612上的动点，椭圆内有一定点A(-2,3), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|

的最小值，并求这时点M的坐标.

2x?1-ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数. 2.已知函数f (x)=

3.如图所示，已知梯形

ABCD中|AB|=2|CD|, 点E分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过 C,D,E三点，且以A，B为

23???4时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图焦点.当31??1?25?a?b??????.a??b?4 4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：?5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三

棱柱的体积.

第5题图 ●参考答案

1．解析挖掘隐含条件的数量关系即可

1,2为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率

与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，

作MB垂直于右准线l，垂足为B，

|MF|1?e?,2 如图所示.则|MB|即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图

易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（23,?3）. 2.解析探究a的值，应倒过来思考.

??x1?x2??a?.?x2?1?x2?1?12?? 设x1

因为

2x12?1?x1,?x2?1?x2.所以

2x12?1?x2?1?x1?x2?0.

x1?x2得

x?1?x?12122?1. 注意到x1-x2<0, 所以只要a?1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a?1时，函数f (x)在区

间［0,+∞)上是单调减函数.显然0

点评运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.

3.解析很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了. 事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.

|AB|c?c,(,?h)22注意到|AB|=2|CD|，设OC=依题意记A(-c,0)，C, E(x0, y0). (??2)c?x?,0?2(1??)???y??h.0?1???由定比分点坐标公式得

x2y2c2h2?2?1,?2?1,22bb设双曲线方程为a将点C，E坐标代入方程，得4a ① (??2)2c2?2h2??1,22224(1??)a(1??)b ②

c1?2?3??2?.a1??1??将①代入②且用e代入，得e2=

23???,4可知e2∈［7, 10］又由题设3，所以离心率e的范围是7?e?10.

点评挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.

14.解析容易估计a=b=2时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.

a?构造

111111?a?????5?543?0,a4a4a4a4a4a 111111?b?????5?543?0,b4b4b4b4b4b

b?同理

1??1?1?,?a???b???25?583ab4(ab)????两式相乘

1?a?b?111251???,4所以ab?4, 故(a+a)(b+b)?4(当且仅当a=b=2时取“=”号).从等号成立注意到ab??2?的条件切入是独具匠心的思考方法.

点评启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路. 5.解析将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC

2aS.2—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于

用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.

点评看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.

第13计钥匙开门各归各用 ●计名释义

开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.

数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.

定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.

●典例示范

【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离

a?之和为2a. 求证：|PF1|=

ccx,?a?x.a|PF2|=a

x2y2?2?12b【分析】一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程a却有b无c， …… 此处隐藏：1181字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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