高考数学解题破题36计(11)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读： x+y=0，点P到直线OQ的距离： 1|x?x2?2||(x?4)2?48|8?282d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠43-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =62. 11∴(S△POQ)max =22|OQ|2dmax=2252262=30. 【例4

x+y=0，点P到直线OQ的距离：

1|x?x2?2||(x?4)2?48|8?282d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠43-4，为使△POQ面积

最大只须d最大，当x=8时，dmax =62.

11∴(S△POQ)max =22|OQ|2dmax=2252262=30.

【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA2tanC的值.

【解答】如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA. 不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A, ∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，

11则有：2sinα+2sinγ=sinβ，

即sin2A+sin2C=2sin2B.

2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图 ∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).

∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.

【点评】本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次

转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的. ●对应训练

1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1= 4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所

成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图

1?2.证明不等式：

12?13???1n?2n (n∈N+).

1?23?3??22???????sinx?cosx??sinx???,????2?4?424??3?，f (x)=??3.设x∈?，求f (x)的最大值与最小值.

?1??1??1??1???1????1???x??y??z?的最小值.

4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=?

●参考答案

1.建立如图的空间直角坐标系，有：

A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1. ∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵|BP|=4?1?17.

2|AB|∴tan∠APB=|BP|?41717.

41717∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.

(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.

∵D1B1=（4,4,0)，AP=（-4,4,1）, ∴D1B12AP=-16+16+0=0.

即AP⊥D1B1，也就是A1D⊥D1O. 第1题解图已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)

（Ⅲ）在DD1上取|DQ|=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，

11∵S△AD1Q =2|AC1|2|QR|=2]|AD|2|D1Q|.

32QRQR2即：42||= 433，∴||=2.

322已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.

点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若

干转换手法.

1111?????n,2n2.只须证22223

1111111????????2?2n?n21?22?3n?1?n 右式=1?11?(2?1)?(3?2)???(n?n?1)=2 n?=

1?n2.

1111111?????n,?????2n.222232n3n∴成立，从而1+2

1?2x???3??6??+8. 3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -2sin

???????????????,???,??,??????3??时,2x-6?32?，故f (x)为?43?，上的减函数,当x=3时, 当x∈?43?43?［f(x)］min =8，当x=4时,［f (x)］max =-8.

2xy112xy11?xy?z2yz?1??1????1?z，zxxx，同理：yz， 4.注意到x8xyz∴u?xyz=8.

第12计小刀开门切口启封 ●计名释义

西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.

一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰

到了盒子的入口.

数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.

●典例示范

tan(???)3?.tan?2 【例1】已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：

【分析】题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀

开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找

33到了2这个数，试一试，就打2的主意！

sin(???)5355?13?,?sin?1215?12，那么由合分比定【解答】化条件为考察结论的右式与的数量关系知sin(2???)?sin?5?13??.5?12 理能使问题获得解决，即sin(2???)?sin?tan(???),tan?而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.

【点评】这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考

虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.

【例2】设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.

(1?2m)?3m?1m【分析】若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量

m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.

【解答】原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,

2x?72(x?2)即m=,

【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.

2x?72(x?2)【续解】由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且?1,得-3?x?1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入

原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.

【点评】有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.

【例3】设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.

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