高考数学解题破题36计(4)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：【解答】（Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p. 1显然，满足|OQ|=2|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上. 如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p), y2y2x=2p,

【解答】（Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.

1显然，满足|OQ|=2|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.

如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),

y2y2x=2p,代入：y=tanα·2p-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.

此方程有不同二实根y1y2,

2p∴y1+y2=tan?,y1y2=-4p2.

2216py1y2?24p2p2pOA?OB∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.

4∴OA?OB,故点O仍在以AB为直径的圆上.

【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，

直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:

(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.

(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.

这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量. 【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.

?当α≠90°时，不妨设α∈［0,2)，则

22|x1?x2||y1?y2||(y1?y2)(y1?y2)||AB|???cos?2pcos?2pcos?12p??(y1?y2)2?4y1y22pcos?tan?14p22p2??16p?sin?tan2?sin??2p?2?4p1tan?2?4

综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p. 别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.

22OA|?|OB|AB∴||2=|

2222x?y?x?y1122=

≥2x1x2+2p(x1+x2) ≥2x1x2+4p

x1x2.

22y1y2??4p2∵y1y2=-4p2,∴x1x2=2p2p

于是|AB|2≥16p2,| AB|min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2. 【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练

1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.

ann??an?1之值. (1)求数列{an}的通项公式，并求

lim?1???(2)证明0

2.矩形ABCD中,AB=6,BC=23,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示). (1)求证:PD⊥PC;

(2)求二面角P—DB—C的大小.

●参考答案

1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).

?1???(2)可以预见:f?3?展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这

种数列的求和方法是“错项相减”.

?1???(3)f?3?的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.

解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2, 即Sn=n2,

∴an=Sn-Sn-1=2n-1,

ann??an?1lim12n?1n?1?lim12n?1n??2?limn=n??；

2?(2)由(1)知an=2n-1.

11?1??1??1??3?()2?5?????(2n?1)?????3?3??3? ① ∴f?3?=1×31?1??1??1??1??1?f???1????3?????(2n?3)????(2n?1)??3?3??3??3??3??3?2①-②:31?1??1??1??1??1?f???1??2??????????(2n?1)???3?3??3??3??3??3?2n?123n23nn?13n ②

n?1

?1??1?1?1??1??????????????3?f?3? =2?3??3?2n?1?1?????2?3?

n??1?n?1??1????n11??3??2n?1?1??????1?23?2?3?1???3???? =

n?1n11??1??2n?1?1???1????????22?2?3???3???n?1=

1?1????=1-2?3?设g(x)=3xn?1?2n?1?1??1??3?3n ??x?1,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=

1?ln3(x?1)3x?0.

2∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=3,

n?1又当n→∞时,g(n)→0,∴3n?2??1??1??0,????,1?∈?3?,从而f?3?∈?3?.

2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.

(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC. (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD只须作,OM⊥BD即可.

解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.

(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角, ∵PB=6,

PD?PBPD=23,∴BD=43,PM=BD=3,

22CD?PD?36?12?26, 已证PD⊥PC,∴PC=

PD?PC23?26??226PO=CD.

2222sin∠PMO=3,∠PMO=arcsin3, 22即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin3.

第5计才子开门风情万种

●计名释义

所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.

●典例示范

ln2ln3ln5［引例］试比较以下三数的大小：2，3，5

［解一］建构函数法

1ln2ln3ln5lnxe2设f (x) =x? f＇(x)=xlnx?0 ? f (x)为减函数 ? 2>3>5

［旁白］才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.

［评语］学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.

［解二］作差比较法

ln2ln33ln2?2ln3ln8?ln918??ln2?3669<0 2-3=

ln2ln55ln2?2ln5ln32?ln25132??ln2?5101025>0 2-5=

?ln3ln2ln5??325

［旁白］才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.

［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.

［旁白］大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.

ln2ln23ln85ln32ln3ln2ln5［奇解］ 2×ln3=ln9<1 2×ln5=ln25>1 ? 3>2>5

［旁白］大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评. …… 此处隐藏：1550字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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