高考数学解题破题36计(3)

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读： 2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项. 原函数定义域为-1≤x ∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A

2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.

原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.

∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．

3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假. 取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B. 解析二由选择支,联想到二次函数的判别式. 令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.

【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发: 4b<4a+c, ① 2b<-a-c, ②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

第3计诸葛开门扇到成功

●计名释义

诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量. 数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用. ●典例示范

1x2?2 试求 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 )的值. ［题1］已知f (x)=

［分析］若分别求f (x)在x= -5，-4，?，0，?，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，

有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.

1x［解析］因为 f (x)+ f (1-x) = 2?2?121?x?2

12x?2?12(2x?2)

1 =

2x?2?2x2?2?2x?22?2?2xx =2(2?2)

所以 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 )

1 =2［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+?+（f (6 )+ f (-5 )）］ 112??12?32222=［f (1-x )+ f (x )］36 =

［点评］这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.

●对应训练

1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .

25，52.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-33),长轴平行于y轴的椭圆方程. x2?y2?a23.若椭圆2 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.

●参考答案

212261.9 命sin2α=sin2β=sin2γ=3,则cos2α=cos2β=cos2γ=3.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cos2γ=3.

82?69∴cosαcosβcosγ=27.

(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).

2.解析按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程. 若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.

22已知e=5,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=5的椭圆系为

221525)?(y?)2?k,)35333看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该(x+，把点P(-点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:

2215)?(y?)2??(2x?y?3)?053(x+3 2又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-3. y2因此所求椭圆方程为x2+5=1.

点评将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程. 3.解析若按常规,需分两种情况考虑: ①A,B两点都在椭圆外; ②A,B两点都在椭圆内.

若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.

设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围. 易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,

?x223??y?a得a2?x2?2x?1?22?y?x?1由方程组?,x∈［1,3］,

994141a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=2或a2=2,故2?a2?2. 3282∵a>0,∴2?a?2.

3282故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为02.

第4计关羽开门刀举成功

●计名释义

关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.

数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！

●典例示范［例1］

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. （Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.

［分析］这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，

这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.

［解Ⅰ］取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里. 易知QN和SM都平行于平面BCC1B1?MN∥BCC1B1?MN∥面ADD1A1（证毕）.

［插语］其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.

【例2】设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.

（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上； （Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

1【分析】（Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=2|AB|.



(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2

（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.

显然，利用向量知识证OA?OB=0,当为明智之举.

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