最新高考牛人知识点总结(9)

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为?,?,?，则cos2??cos2??cos2??1.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为?,?,?，则cos2??cos

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2??cos2??2.

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ．

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱?Sh?3V棱柱. ?①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：S?12Ch（底面周长为C，斜高为h）

S底cos?''③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧?（侧面与底面成的二面角为?）

附： c 以知c⊥l，cos??a?b，?为二面角a?l?b.

a b 则S1?l12a?l①，S2?12l?b②，cos??a?b③ ?①②③得S侧?S底cos?.

注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ?棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

aAb简证：AB⊥CD，AC⊥BD? BC⊥AD. 令AB?a,AD?c,AC?b 得BC?AC?AB?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac，已知a?c?b?0,b?a?c?0c????BCD

DEF?ac?bc?0则BC?AD?0.

AHBO'GCiii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 边形?EFGH为长方形.若对角线等，则EF?FG?EFGH为正方形.

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简证：取AC中点O'，则oo??AC,BO??AC?AC?平面OO?B?AC?BO??FGH?90°易知EFGH为平行四

3. 球：?球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S?4?R2. ②球的体积公式：V??纬度、经度：

①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度. 附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高） ②圆锥体积：V?③锥形体积：V?13132?rh（r为半径，h为高）

433?R.

Sh（S为底面积，h为高）

63a，SOr4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h?得

34a?2底?34a，S侧?64a.

234a

263a?34a?R?213?3413a?R?R??S侧?R?3?13224a/433?24a?3?注：球内切于四面体：VB?ACD?S底?R?S底?h

RO②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.

1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立]

②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量]

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.

（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb. ②空间任一点、B、C，则OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC四点共面的充要条件.（简证：．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．

OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四点共面）

注：①②是证明四点共面的常用方法.

2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使．．．．a,b,c不共面．．．

p?xa?yb?zc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点

P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 - 25 -

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