最新高考牛人知识点总结(5)

证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以

tanA?tanB，

1?tanAtanB??tanC?结论！2?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD2?AC2BD?ABBCABC?BD?DC.

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① 222在△ABC中，由余弦定理有cosB?AB?BC?AC2AB?BC?②，②代入①，化简

2B可得，DCAD2?ACBD?AB2BCBC?BD?DC（斯德瓦定理）

图5①若AD是BC上的中线，m?12c2a22b2??a2；

②若AD是∠A的平分线，ta?2b?cbc?p?p?a?，其中p为半周长； ③若AD是BC上的高，h2a?ap?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.

?△ABC的判定：

c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?

2c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜

?2

- 13 -

4

图 c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞

?a?b?c2ab222?2

附：证明：cosC，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2

?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

a?b?a?b?2(a?b)

2222§6. 不 等 式 知识要点

1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

a?b222?a?b2?ab?21a?2（当a = b时取等）

1b222特别地，ab?(a?b?c3222a?b2)?2a?b22（当a = b时，(a?b2)?2a?b2?ab）

?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等)

3??222?幂平均不等式：a1?a2?...?an?1n(a1?a2?...?an)

2?含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： ①a3?b3?a2b?ab2

②a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?ac?bc)

333222?a?b?c?3abc（a?b?c?0等式即可成立a?b?c3133333，a?b?c或a?b?c?0时取等）；

333abc?a?b?c?3a?b?c?abc?????33??

ab?ba?ac?(a??b?c)（a2?b?c时取等）

?绝对值不等式：

a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)

?算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：

a1?a2???ann?na1a2?an（a1=a2…=an时取等）

?柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则

(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)

2222222等号成立当且仅当

a1b12?a2b22???anbn2时成立.（约定ai?0时，bi?0）

例如：(ac?bd)?

常

用

不

?(a?b)(c?d).

式

的

放

缩

法

：

①- 14 -

22等

1n?1n?1?1n(n?1)?1n2?1n(n?1)?1n?1?1n(n?2)

②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)

2. 常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?122?2x(1?x)(1?x)?221234 ()?23272②y?x(1?x)?y2?2x(1?x)(1?x)22?123423 ()??y?23279类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx) ③|x?1x|?|x|?|1x|(x与1x同号，故取等)?2

2§7. 直线和圆的方程 知识要点

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????). 注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：?axyb?1.

x轴平行或重

注：若y??23x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??23x?2，但若y??23x?2(x?0)则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行：

l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.

因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2）

推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ② l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）4. 直线的交角：

?直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，

?它的范围是(0,?)，当??90时tan??k2?k11?k1k2.

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