最新高考牛人知识点总结(14)

当|a|?1时，liman?0

n??当a?1时，若a = 1，则liman?1；若a??1，则liman?lim(?1)n不存在

n??n??n??当a?1时，liman不存在

n???数列极限的四则运算法则： 如果liman?a,limbb?b，那么

n??n??①lim(an?bn)?a?b

n??②lim(an?bn)?a?b

n??③limn??anbn?ab(b?0)

特别地，如果C是常数，那么

n??lim(C?an)?limC?liman?Ca.

n??n???数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当q?1时，无穷等比数列的各项和为S?（化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；

?当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?a或当x?x0时，f(x)?a.

x?x0a11?q(q?1).

注：当x?x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为x?x0并不要求x?x0.（当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条

x?x0件.） 如P(x)???x?1??x?1x?1x?1在x?1处无定义，但limP(x)存在，因为在x?1处左右极限均等于零.

x?1?函数极限的四则运算法则：

如果limf(x)?a,limg(x)?b，那么

x?x0x?x0①lim(f(x)?g(x))?a?b

x?x0②lim(f(x)?g(x))?a?b

x?x0③limx?x0f(x)g(x)?ab(b?0)

特别地，如果C是常数，那么

lim(C?f(x))?Climf(x).

x?x0x?x0

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lim[f(x)]x?x0nn?[limf(x)]（n?Nx?x0?）

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ?几个常用极限： ①limn??1x?0

②limax?0（0＜a＜1）；milx???axx????0（a＞1）

③limx?0sinxx1x?1?limx?0xsinx?1

1④lim(1?x??)x?e，lim(1?x)x?0x?e（e?2.71828183）

4. 函数的连续性：

?如果函数f（x），g（x）在某一点x?x0连续，那么函数f(x)?g(x),f(x)?g(x),续.

?函数f（x）在点x?x0处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点x?x0处有定义；②limf(x)存在；③函数f（x）在点x?x0处的极限值等于该点的函数值，即

x?x0f(x)g(x)(g(x)?0)在点x?x0处都连

x?x0limf(x)?f(x0).

?函数f（x）在点x?x0处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点x?x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点x?x0处没有定义，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，但limf(x)?f(x0).

x?x0x?x0x?x05. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

?零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0.

?介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C（a＜?＜b）.

?夹逼定理：设当0?|x?x0|??时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必有limf(x)?A.

x?x0x?x0x?x0注：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零.（?为最小整数） 6. 几个常用极限：

n①limq?0,q?1 n???②limn???ann!nakn?0(a?0)

③limn????0(a?1,k为常数）

④limn???lnnn?0

k⑤limn???(lnn)n??0(??0,k为常数）

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§13. 导 数 知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值间的平均变化率；如果极限lim?x?0?y?x?f(x0??x)?f(x0)?x称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之

?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极

?y?x?lim?x?0'限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y|x?x0，即f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?x.

?x?0注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.

②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

?函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0. …… 此处隐藏：522字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……