最新高考牛人知识点总结(13)

ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

? x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … P 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.

- 32 -

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：

P(ξ?k)?Cnpqkkn?k[其中k?0,1,?,n,q?1?p]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n·p），其中n，p为参数，

kn?k并记Ck?b(k;n?p). npq?二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(A)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：kP(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

? 1 q 2 qp 3 qp 2… … k?1,2,3?

k qk?1… pP … 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.5. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξ?k)?CM?CN?MCnNkn?k?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件

正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为

P(ξ?k)?Ca?CCkn?kbna?bk?0,1,?,n..

?超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数?的分布列可如下求得：把a?b个产品编号，则抽取n次共有(a?b)个可能结果，等可能：(η?k)含Cnab结果，故P(η?k)?knkkn?k个

Cnabkkn?kn(a?b)?Cn(kaa?b)(1?kaa?b)n?k,k?0,1,2,?,n，即?～B(n?aa?b).[我们先为k个次品选定位置，

共Cn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ?k)?P(η?k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

? x1 p1 x2 p2 xi pi … … … … P 则称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

- 33 -

2. ?随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b ①当a?0时，E(b)?b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a?1时，E(??b)?E??b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b?0时，E(a?)?aE?，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ?单点分布：E??c?1?c其分布列为：P(??1)?c. ?两点分布：E??0?q?1?p?p，其分布列为：（p + q = 1） ?二项分布：E??ξ P 0 q 1 p ?1pk?n!k!(n?k)!p?qkn?k?np 其分布列为?～

B(n,p).（P为发生?的概率）

?几何分布：E?? 其分布列为?～q(k,p).（P为发生?的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，则称

D??(x1?E?)p1?(x2?E?)p2???(xn?E?)pn??222为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的根方差或标准差.随

机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

?随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） ?单点分布：D??0 其分布列为P(??1)?p ?两点分布：D??pq 其分布列为：（p + q = 1） ?二项分布：D??npq ?几何分布：D??qp2ξ P 0 q 1 p

5. 期望与方差的关系.

?如果E?和E?都存在，则E(???)?E??E?

?设ξ和?是互相独立的两个随机变量，则E(??)?E??E?,D(???)?D??D? ?期望与方差的转化：D??E??(E?)22 ?E(??E?)?E(?)?E(E?)（因为E?为一常数）?E??E??0.

四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x?(??,??)” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

ab(x??)2?22▲yy=f(x)x2. ?正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12???e. （x?R,?,?为常数，且??0），

称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?)，它的密度曲线简称为正态曲线.

?正态分布的期望与方差：若?～N(?,?)，则ξ的期望与方差分别为：E???,D???. ?正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.

③当x??时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

- 34 -

2222④当x＜?时，曲线上升；当x＞?时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当?一定时，曲线的形状由?确定，?越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

12??x23. ?标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为?(x)?e2则称(???x???)，

▲ySξ服从标准正态分布. 即?～N(0,1)有?(x)?P(??x)，?(x)?1??(?x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(a???b)??(b)??(a).

注意：当标准正态分布的?(x)的X取0时，有?(x)?0.5当?(x)的X取大于0的数时，有?(x)?0.5.比如?(0.5??)?0.0793?0.5则

0.5??a标准正态分布曲线x??必然小于0，如图.

S阴=0.5Sa=0.5+S?正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N(?,?2)则ξ的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(ξ?x)?F(x)??(4.?“3?”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布

2确定一次试验中的取值a是否落入范围(??3?,??3?).③做出判断：如果a?(??3?,??3?)，接受统计假N(?,?).②

x?μσ).

设. 如果a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

?“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(?,?2)则 ξ落在(??3?,??3?)内的概率为99.7％ 亦即落在

(??3?,??3?)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态

分布）.

§12. 极 限 知识 …… 此处隐藏：2252字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……