最新高考牛人知识点总结(11)

Cn?Cn?Cn???n?2024012nn

135n?1Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2Cn?Cm?1?Cm?2?Cm?n?Cm?n?1kCn?nC1k?1Cn?kkk?1n?1mmmmm?1

1n?1Cn?1k?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

12!?23!?34!??n(n?1)!?1?1(n?1)!（利用

n?1n!?1(n?1)!?1n!）

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用Cn?Cmm?1n?Cn?1递推）如：C3?C4?C5??Cn?Cn?1.

m333340212n2nvi. 构造二项式. 如：(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n

证明：这里构造二项式(x?1)(1?x)?(1?x)nn2n其中x的系数，左边为

n2nCn?Cn?Cn?C0n1n?1n?Cn?C2n?2n???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)n00212，而右边?C2n

n

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四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有

n?m?1mn?m?1mAn?m?1?Am个.其中An?m?1是一个“整体排列”，而Am则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An?An?1?A2. 1?12②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An?A2. n?12n?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An?An?1.

注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性. 2④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

?mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An，当n – m+1≥m, 即?An?m?1（插空法）n?mm≤n?1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个

AnmAmn元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am.

Cnknnm⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

?Cn(k?1)n?CnnAkk.

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有

C242!?3（平均分组就用不着管组与组之间的顺

序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?C18C21082）

C20/2!注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有

n?mmmAn?m?An?m?1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤

n?12时有意义.

⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔

3板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C11.

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x1x2x3x4注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xin?1为求a的正整数解的个数为CA . ?n?1，有x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置

?r则有ArrAk. n?r例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

m?1m1m?1?1固定在某一位置上：Am；不在某一位置上：Am，一类是?An?1或An?1?Am?1?An?1（一类是不取出特殊元素a，有An?mnn?11取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列

rk?rkrCrCn?rAk；组合CrCk?rn?r.

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列Cn?rkAk；k组合Cn?kr.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元

?sk?s素。先C后A策略，排列CrsCnk?；组合CrsCk. rAkn?rII. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak. k2例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C102C84C4/A2?1575.若分成六组，各组人数分别为1、1、4242、2、2、2，其分法种数为C101C91C82C62C42C2/A2?A4 2②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am m2353例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10?C8?C5?A3种.

3若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C102C83C4?A3种 5m③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/Ar?Am. r244例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4?A3

32A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分

m尽，其分法种数为A?Cn1Cn-2m1…Cn-k(m1?m2?...?mk-1)

mm例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5?2520若从10人中选出6人分成三组，各组人5

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