2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(9)

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3阶矩阵

B???1,?2,?3?

A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3

A?A00B??B?AB

E?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC?

?AB?T?BTAT

AB?AB

AkAl?Ak?l

?Ak?l?Akl

?AB?k?AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处

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k??AB

?AkBk不一定成立！

无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

2A?2A?3E??A?3E??A?E?

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

?A?0或B?0 当AB?0时??B?0 由A?0和AB?0??B?C（无左消去律） 由A?0时AB?AC?特别的 设A可逆，则A有消去律。 左消去律：AB?AC?B?C。 右消去律：BA?CA?B?C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即 ①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C

可逆矩阵的性质

i）当A可逆时，

TTAA 也可逆，且

???1?A?1。 ?A?1。

??T Ak也可逆，且?A?k?1??k 数c?0，cA也可逆，

?cA??1?1A?1c。

?1?1?1??AB?BA。 ?ABnABii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且

推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且

?1????Ei,j?E?i,j?

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?1???E?i?c????1?E??i???????c??

?1??????Ei,jc?E?i,j??c??

命题：准对角矩阵

A11A?000

0A220000?0000AkkA?1??1A1100?1A220000?0000?1Akk00A可逆?每个ii都可逆，记

伴随矩阵的基本性质：

AA*?A*A?AEA

当A可逆时，

A*?EAA?1? 得

?1A*A， （求逆矩阵的伴随矩阵法）

?A*? 且得：

A??A?1?A????1?A*?A?1A?1? ??????1?A??A??

伴随矩阵的其他性质

①

A*?ATn?1,

TA*?AA?1

*??A*?, ②?A?n?1??cA*?cA*, ③

④?AB?*?B*A*, ⑤?A?*??A*?，

kk ⑥

?A*?*?An?2?a?b??A*????A?cd??A**?An?2?? 。 时，

关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，* i) 任何两个的次序可交换， 如?A?*??A*?TT，

?1??A*??A?1?*等 T??AB ii)

?BTAT, ?AB??B?1A?1，

?128

?AB?*?B*A*

k??AB 但

?BkAk不一定成立！

线性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解

???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs?

T?? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示

AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?，

r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。

则

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

则存在矩阵C，使得

??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。

，

线性表示关系有传递性 当 则 等价关系：如果

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t

记作 线性相关

?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。

s?1，单个向量?，x??0 ?相关???0

?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn

??1??n????0

s?2，?1,?2相关?对应分量成比例

①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关

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如果s?n，则

A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0

?1,?2,?,?s一定相关

Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果 ③如果

?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关

?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s

c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0

证明：设

c,?,cs不全为0，c1?1???cs?s?0，与条件?1,?,?s无关矛

则其中c?0，否则1???盾。于是 ④当

cc1?1???s?scc。

???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关

??1??s相关）

（表示方式不唯一 ⑤若

?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。

A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，

证明：记

则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。

? Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解，C??0。

?,?,?t线性相关。 ? 则B??AC??0，即也是Bx?0的非零解，从而1各性质的逆否形式 ①如果 ②如果 ③如果 ⑤如果

?1,?2,?,?s无关，则s?n。

?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。 ?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。 ?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。

推论：若两个无关向量组

极大无关组

?1??s与?1??t等价，则s?t。

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