2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(13)

?1 通过逆求解：Ax?B，x?AB

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A。 定理：n阶矩阵A可逆

?1?1?A?0

求A的方程（初等变换法）

?AE?????EA?

行?1

伴随矩阵

?A11??A12A*?????A?1n

线性表示

A21A22?A2nAn1???An2?T???Aij?????Ann?? ??,?,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，

?可以用12也就是存在记号：

c1,c2,?,cs使得 c1?1?c2?2???cs?s??

???1,?2,?,?s

线性相关性

线性相关：存在向量 线性无关：每个向量

?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 ?i都不能用其它向量线性表示

c,c,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称

定义：如果存在不全为0的12?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。

即：

?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解

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???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：

?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：

i）?I?线性无关。 ii）?I?再扩大就相关。

? ?I?定义：规定如果

??1,?2,?,?s

?II???1??s??I?

?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。

?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

0?? ??1,?,?s??min?n,s?

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：

?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程

x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关

系。

①对应的部分组有一致的相关性。

?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，

若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0， 即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是 从而也是

x1?1?x2?2???xs?s?0的解，

x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有

c1?1?c2?2?c4?4?0，

?1,?2,?3也相关。

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②极大无关组相对应，从而秩相等。

③有一致的内在线表示关系。 设：

A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则

x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。

反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。