2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(10)

一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩 ① ②

?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组

?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s

???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s?

另一种说法： 取

?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?

?,?,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。

?I?也是12 证明：

???1,?,?s????I???I?,?相关。

?? ??1,?,?s?,???1??s? ??1,?,?s,????/?1,?,?s?? ??1,?,?s??1,??

③?可用 ④

?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s

?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?

?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?

⑤

?1,?,?s??1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?

矩阵的秩的简单性质

nm,n? 0?r?A??mi? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n n阶矩阵A满秩：r?A??n

A满秩?A的行（列）向量组线性无关

?A?0

?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。

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矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

TrA?r?A? ①

?? ②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B?? ⑤A可逆时，r?AB??r?B?

弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B? 证：下面证ABx?0与Bx?0同解。

?是ABx?0的解?AB??0

?B??0??是Bx?0的解

B可逆时，r?AB??r?A?

⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B? B行满秩时r?AB??r?A? ⑧r?AB??n?r?A??r?B? 解的性质

1．Ax?0的解的性质。 如果是解。

?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合c1?1?c2?2???ce?e一定也

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0

2．Ax?????0? ①如果

?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则

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c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0

A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e

??c1?c2???ce??