2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(14)

矩阵的秩

定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。

r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2????ax?am2x2???amnxn?bm 1．?m11

2．Ax?? 3．

?是解?A???

x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

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基础解系和通解

1．Ax?0有非零解时的基础解系

?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件：

?i都是Ax?0的解

①每个 ②

?1,?2,?,?e线性无关

???1,?2,?,?e

③Ax?0的每个解

③/ l?n???A? 通解 ①如果

?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为

c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

②如果为

?0是Ax?????0?的一个解，?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系，则Ax??的通解

?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

特征向量与特征值

?? 定义：如果??0，并且A?与线性相关，则称是A的一个特征向量。此时，有数?，使?得A????，称?为的特征值。

? 设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量，A????，于是，任何非零列向量都是?E的

特征向量，特征值都是?。 ①特征值有限特征向量无穷多

若A????，A?c???cA??c?????c??

A?1???1???A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?A?2???2?

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。

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③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算

A????,??0

??0,??0 ???E?A? ??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值

?? E?A?0

②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式

xE?A为A的特征多项式。

xE?A ?是A的特征值??是A的特征多项式的根。 xE?A ?的重数：?作为的根的重数。

? ,? ,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 n阶矩阵A的特征值有n个：12 计算步骤： ①求出特征多项式 ②求

xE?A。

xE?A的根，得特征值。

③对每个特征值

? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U记作A~B。

n阶矩阵的对角化

基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵

?1AU?B，则称A与B相似，

U???1,?2,?,?n?，则

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