2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(5)

柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)r??2sin?drd?d???d??d?00?F(r,?,?)r02sin?dr重心：x?1M???x?dv,　　y???1M???y?dv,　　z???1M???z?dv，　　其中M?x?????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??11

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：?y??(t)???P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??Pdx?Qdy??????x?y?x?yDLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?yu(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。

曲面积分：

22对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds???f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy?Dxy对坐标的曲面积分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正?Dxy号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正?Dyz号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??

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高斯公式：

???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：divA???dv???Ands?????斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?cos???yQcos???zRdydzdzdxdxdycos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??A?tds??

常数项级数：

1?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n

2n?113

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：??un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1　　级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1　　p级数：　　?npp?1时收敛

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幂级数：

1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??　　x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0

?函数展开成幂级数：

f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??　　　(?1?x?1)2!n!x3x5x2n?1n?1sinx?x?????(?1)??　　　(???x???)3!5!(2n?1)! (1?x)m?1?mx?欧拉公式：

?eix?e?ixcosx???2eix?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?

三角级数：

a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。傅立叶级数：

?15