2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(12)

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

TTTxBx?xCACx??Cx?ACx?0

T （C可逆，x?0，?Cx?0！） 我们给出关于正定的以下性质

A正定

?A~?E

T ?存在实可逆矩阵C，A?CC。 ?A的正惯性指数?n。 ?A的特征值全大于0。 ?A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。

基本概念

对称矩阵A?A。 反对称矩阵A??A。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） ①写出增广矩阵 ②用

TT?A??，用初等行变换化?A??为阶梯形矩阵?B??。

?B??判别解的情况。

?B??最下面的非零行为?0,?,0d?，则无解，否则有解。

? i）如果

ii）如果有解，记是

?B??的非零行数，则

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? ?n时唯一解。 ??n时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉矩阵。 则

?B??的零行，得?B0 ?0?，它是n??n?c?矩阵，

B0是n阶梯形矩阵，从而是上三角

bn n?0?bn?1 n?1?0??bii都不为0。

行行?A??????Br?????E?? ?就是解。

一个n阶行列式

a11a21?an1a12a22?an2?a1n?a2n???ann的值：

①是n!项的代数和

②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项 排列。 ③

a1j1a2j2?anjn其中

j1j2?jn是1,2,?,n的一个全

a1j1?anjn??jj?j???j1j2?jn?的逆序数 ???1 前面乘的应为

12n?

j1j2?jn???1???j1j2?jn?a1j1a2j2?anjn

??n?n?1??21??Cn2?

代数余子式

n?n?1?2

Mij为

aij的余子式。

i?jAij???1?Mij

定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

D?a21A21?a22A22???a2nA2n

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

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范德蒙行列式

11?a1

a11?an??(aj?ai)i?j2Cn 个

乘法相关

AB的?i,j?位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

乘积矩阵的列向量与行向量

A???1,?2,?,?n?，n维列向量???b1,b2,?,bn?，则

（1）设m?n矩阵

T

A??b1?1?b2?2???bn?n

矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式

???b1,b2,?,bm?

Ax??，

T?? 方程组的向量形式

x1?1?x2?2???xn?n??

（2）设AB?C，

AB??A?1,A?2,?,A?s?

ri?A?i?b1i?1?b2i?2???bni?n

AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。

AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的

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乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

??1?0??1,?2,?,?n???0??0?

0?2000??00??0??0?n?? ???1?1,?2?2,?,?n?n?

0 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 于是AE?A，EA?A A?kE??kA，?kE?A?kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂

对一个n阶矩阵A，规定tr?A?为A的对角线上元素之和称为A的迹数。 于是 ?????????TkTk?1??T??tr???T????T ?T??tr???T?

k?1 其他形式方阵的高次幂也有规律

?101???A??020??101??? 例如：

初等矩阵及其在乘法中的作用

（1）E?i,j?：交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列 （2）E?i(c)?：用数c??0?乘E的第i行或第i列

（3）E?i,j(c)?：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。 初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。

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两种常用的情况 （1）A,B都分成4块

A???A11A12??B11B12?

??A21A?B??22??，??B21B?22??

其中

Ai1的列数和B1j的行数相等，Ai2的列数和B2j的行数相关。AB???A11B11?A12B21A11B12?A12B22?

??A21A11?A22B21AB?2112?A22B22??

（2）准对角矩阵

??A110?0??0A?0??22?????

?00?A?kk?? ??A110?0??B110?0??A11B110?0A?0????0BA?2222?0????022B22????????????

?00?A??kk????00?B???kk????00

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且

A?0）

?I?Ax?B ?II?xA?B （I）的解法：

?AB???行 ??Ex?

（II）的解法，先化为ATxT?BT。

T

?ABT???ExT?。

40

0?0???A?kkBkk??

???