2014 考研数学公式（高数 线代 概率） 过来人精心整理(11)

特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果解的情况判别

方程：Ax??，即 有解

?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解????0是Ax?0的解。

x1?1?x2?2???xn?n??

????1,?2,?,?n

????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

???A|?????A? 无解???A|?????A?

唯一解???A|?????A??n 无穷多解???A|?????A??n 方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解 ②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n）

特征值特征向量

xE?A ?是A的特征值??是A的特征多项式的根。

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两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

?? 1?A??0?0?xE?A?*? 20*????? 3??

x?? 1?*x?? 2?*????x?? 1??x?? 2??x?? 3?0

00x?? 3 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A?

特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①? 1? 2?? n?A

②

? 1?? 2???? n?tr?A?

命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则

①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x?? A?1??1?A*??|A| ②当A可逆时，

?，

??

命题：设A的特征值为

? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为

f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?

1 ②A可逆时，A?1的特征值为? ,11?,?,1 2? n

|A|| A*的特征值为? ,A||A|1?,?, 2? n

③AT的特征值也是

? 1,? 2,?,? n

特征值的应用

①求行列式

|A|?? 1,? 2,?,? n

②判别可逆性

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? ?是A的特征值

? E?A?0?A?? E不可逆

A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。 相似关系有i）对称性：A~B?B~A U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C U?1AU?B，V?1BV?C，则

?1?1?1?1????UVAUV?VUAUV?VBV?C

命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质 ①

A?B

②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

?1??U?是B的属于?的特征向量。 ?ABA 与的特征向量的关系：是的属于的特征向量

A?????BU?1???U?1? ? ????????1?1?1?1?1UA???U??UAUU???U?

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定

A~?B

，则A，B同时正定，同时不正定。

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