填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(9)

两面的中心，AG是正方体主对角线的三分之二）

用记号dP表示点P到切面的距离，用R表示外接球的半径长，有

dA?dB?2dE,dC?dD?2dF,dE?dF?2dO，

得 dA?dB?dC?dD?2dE?2dF?4dO?4R．（定植） 图2-15

第四节 特例法

当填空题暗示，答案是一个“定值”时，我们可以取一个（些）特殊数值、或一个特殊图形、或一个特殊位置、或一个特殊结构来确定这个“定值”，以节省推理论证的过程．我们把这些解填空题的方法统称为特例法．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题由于不需要过程，就成为答案了．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤为有效．

在例2-8中我们已经见过取特殊的等腰直角三角形、等边三角形来解填空题，在例2-19中我们已经见过取x?1来解填空题，在例2-23解法3中令x趋于正、负无穷，我们又见到了取特殊位置来解填空题．

2-4-1 取特殊图形或图形的特殊位置

例2-31 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为?，则cos?= ． 讲解 题目暗示，答案是一个“定值”，所以，我们取一个特殊的正四棱柱——正方体，这时体对角线与正方体的6个面所成角相等，依题意

cos2??cos2??cos2??2,?????

得 cos?=266．填 ． ?333ABC中，点O是BC中点，过点O的直线分别交AB,AC于

说明 这是取一个特殊图形来解填空题．

例2-32 如图2-17，在

不同两点M,N，若AB?mAM,AC?nAN，则m?n? ．

解法1 （直接法）如图2-15，由已知有

NO?NC?CO??n?11AC?AB?AC n2??1?11?AB????AC， 2?2n? OM?OB?BM?11?mAB?AC?AB 图2-16 2m??1?11?????AB?AC,

2?m2?因为M,O,N三点共线，，所以，存在??0使NO??OM，得

1??11?1??11?AB????AC??????AB?AC?， 22?2n???m2??但AB,AC不共线，所以

?1?11??????,??2?m2? ??1?1???,?2?2n消去λ得m?n?2．

解法2 （特例法）设过O的直线与BC重合，即M点为B点，N点为C点，有

m?1,n?1，得m?n?2．

说明 特例法取了一个特殊位置，简单得连犯错误的机会都没有．解法2之所以可行，是因为填空题不需要写过程．

例2-33 如图2-17，直三棱柱ABC?A1B1C1中，各侧棱和底面边长均为a，点D是C1C上任一点，连A1B,A1D,BD,AD，则三棱锥A?A1BD的体积为 ．

解法1 （直解法）转换顶点

11333VA?A1BD?VB?A1AD??a2?a?a．

32212解法2 （特例法） 由C1C平行AA1B1B知，三棱锥A?A1BD体

积与D的位置无关（定值），特别地取D与是C重合，则三棱锥 图2-17

A?A1BD体积为直三棱柱ABC?A1B1C1体积的三分之一．

1VA?A1BD?VA1?ABD?VABC?A1B1C1

3 ?13333?a?a ． 34120)，0)和C(4，例2-34 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(?4，顶点B在

x2y2sinA?sinC??1上，则?_____． 椭圆

259sinB（2007年数学高考江苏卷理科第（15）题）

解 （特例法）题目暗示，无论顶点B在椭圆的什么位置，只要与A,C构成三角形，那么所求式为“定值”．因此我们可以将动点B取一个特殊位置，来计算所求式子的值．现取椭圆与y轴的正

半轴的交点为B(如图2-18)，则图2-18

ABC为等腰三角形，且B?0,3?，有

3sinA?sinC?，

53424． sinB?sin?180?2A??sin2A?2sinAcosA?2?552533?sinA?sinC555所以 ??．

24sinB425例2-35 平行六面体各棱长为4，在顶点P的各条棱上分别取A,B,C，使PA?1，设棱锥P?ABC的体积为V1，平行六面体的体积为V2，那么V1:V2? ． PB?2,PC?3，

解 （特例法）题目暗示，满足题设条件的两体积的比值对任一平行六面体都将是一

“定值”，故可以取正方体来替代，从而相应的三棱锥也就成为一底面为直角三角形的三棱锥，有

11V1???1?2?3?1，

32V2?43?64，

故V1:V2? 1∶64． 2-4-2 取特殊数值或特殊结构

例2-36 若f?x??asin?x?????????bsinx?则有序实数对????ab?0?是偶函数，4?4???a,b?可以是 ．(写出你认为正确的一组数字即可)

（2006年数学高考湖南卷理科第（14）题）

解 (特例法)因为答案只需要一组数字即可，所以取x??4代人偶函数的恒等式

f??x??f?x?中，得?b?a，填?1,?1?即可．

222例2-37 设a?b?2?3，b?c?2?3，则a?b?c?ab?bc?ca的值为

．

解法1 (直解法)将求值式变形为已知式，有

a2?b2?c2?ab?bc?ca??a?b???b?c???a?b??b?c?22

?2?3?15.????2?3???2?3??2?3?

22解法2 (特例法) 题目暗示，满足题设条件的a,b,c有无穷多个，但所求代数式的值将是一个“定值”，取满足条件的一组a?2,b??3,c??2代入

原式?4?3?4?23?23?4?15．

例2-38 已知?an?的公差d?0，且a1,a3,a9成等比数列，则_______．

（1992年数学高考全国卷理科第（18）题）

解法1 (直解法)由a1,a3,a9成等比数列知

a1?a3?a9的值是

a2?a4?a10(a1?2d)2?a1(a1?8d)，

得 d(a1?d)?0，

但d?0，故a1?d，有

原式=

d?3d?9d13?．

2d?4d?10d16解法2 (特例法) 题目暗示，满足条件的数列有无穷多个，但所求代数式的值将是一个“定值”，取一个满足已知条件的特殊等差数列an?n,有d?0,a1,a3,a9成等比数列，则

原式=

1?3?913?．

2?4?1016 例2-39 已知{an} 是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么

nan等于（ ）． limn??Sn（1990年数学高考全国卷文、理科第（18）题）

解法1 (直解法)等差数列的公差为d?0时，an是n的一次函数，Sn是n的二次函数，记

an?dn??a1?d?,Sn?d22a1?dn?n， 22