填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(3)

误解 如图2-7，斜线OP与平面?所成角是OP与平面?内所有直线所成角中最小的，由已知“对于?内异于O的任意一点Q，都有

?POQ?45”，且?POB?45得，直线OP与平面?成45角，进而?POB就是斜线OP与平面?所成的角，由P在 ?上的射影R在直线AB上，得二面角??AB??的大小为90°． 图2-7

讲解 这个解法反映了命题者的预设（后来更改为：大于或等于90°），但这不是真命题（更改后也不够准确），其实，二面角概念中的?、?都是半平面，“对半平面?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45” ，还不足以得出直线OP与平面?成45角，因为平面?还有一半情况不明．下面分两种情况说明，二面角的大小不是只取一个值，而是一个角集合??90,180??．

(1)若二面角??AB??属于??0,90??，显然取0不满足条件．如图2-8，作PS??交半平面?于点S，连结OS，则?POS是斜线OP与平面?所成角．由于“斜线OP与

平面?所成角是OP与平面?内所有直线所成角中最小的”，有?POS??POB?45；但由已知又有?POS?45，所以?POS?45，点S应在棱AB上，二面角??AB??应为90．

图2-8 图2-9

(2)若二面角??AB??属于(90,180]，如图2-9，作PS??交平面?的另一半平面于点S，连结OS，则?POS是斜线OP与平面?所成的角．在半平面?上任取射线

OH，我们证明满足条件?POH?45．当?POH为钝角时显然成立，当 ?POH为锐

角时，过P分别作PC?AB于C，PD?OH于D，则S、D在AB的两侧，且SC?OC，

SD?OD，有0??SOC??SOD?90，进而，

SC?OSsin?SOC?SCsin?SOD?SD,

推出PD?PC，可得?POH??POC?45．二面角??AB??可取(90,180]．

综上得二面角的大小是一个角集合??90,180??．

所以，本题经完型填90°为假命题，把“二面角??AB??的大小是”改为“二面角

??AB??的取值是”，然后填角集合??90,180??才为真命题．

2-1-2 解答填空题的策略分析

1．填空题的求解特点 填空题的求解与选择题、解答题的求解既有共通性，又有特殊性，我们既应掌握共通性，更应重视特殊性．其中填空题的下述４个特点尤应抓住：

特点1 与选择题相比，填空题缺少选择支的信息，更像一道不写过程的解答题，因而解答题的求解思路（参见第三章）可以原封不动地移植到填空题上来，由此产生直解法．但是与解答题相比，填空题的求解更强调准确、快速．

特点2 与解答题相比，填空题不用说明理由，又无须书写过程，这一方面是要求每一步都不允许出错（参见例2-11），另一方面是允许像解选择题一样用“合情推理”等策略（参见第一章），由此产生特例法、图解法、猜想法等．但是，与选择题相比，填空题缺少4个选择支的信息，合情推理的难度要大得多．

特点3 由于填空题常常用来考查基础知识、基本技能，强调概念性、淡化运算量（叫做“大概念、小计算”，或“多一些想、少一些算”），因而大多是一些能从课本找到原型或

背景的题目（中档题为主），可以通过观察、联想、转化，化归为已知的题目或基本的题型（参见本章第二节）．这是填空题与一些高档综合题的重要区别．

特点4 在考试中，由于填空题只写出最终结果，因而像选择题一样具有评分客观、公正、准确的特点．同时，也正因为不设中间分而失去了像解答题那样“分段得分”的机会，“一步失误、全题皆空”，其失分率比选择题、解答题都高．还是由于填空题不呈现思维过程，所以只能“难度中等、分值不高”，考试中要“以快为上”、避免“小题大做”，否则，做对了也是“潜在丢分”或“隐含失分”．

2． 求解填空题的基本建议

根据以上特点，解答填空题的要旨在于“结论正确、方法合理、过程简洁”．提出十条建议供参考．

（1）能否根据概念、定理、公式、法则等数学基础知识直接得出答案； （2）能否通过明显的几何意义迅速得出答案； （3）能否通过挖掘隐含条件而获得解题的突破口； （4）能否通过分类讨论而消解难点； （5）能否通过“整体代入”、“设而不求”、“活用定义”、“巧用公式”等而简化过程； （6）能否化归为课本已经解决的问题； （7）高考中，能否化归为往年的高考题；（例1-19） （8）能否使用求解填空题的特殊方法与技巧；

（9）定量型的填空题一定要运算到最终结果，并且，除非规定了精确度，否则都要保持准确值（参见例2-12，例2-13）．

（10）平时训练要“小题大做”与“小题小做”相结合，重点防止“会而不对、对而不全、全而不美”．

例2-11 如图2-10，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，异面直线AD与BF所成角的余弦值是 ． （1996年数学高考全国卷理科第（19）题）

讲解 异面直线AD与BF的夹角就是?CBF，联结，

CE,DF,CF，由已知可得正三棱柱，且各侧面为正方形，

有CF?BF?2BC，得

1BC22． 图2-10 cos??CBF??BF4本来，这就是答案，但当年有部分考生却要“画蛇添足”，填arccos2．这不是题4目不会做，而是题意没审清，属于心理性错误．

例2-12 sin15osin75o的值是_____． （1992年数学高考全国卷理科第（20）题）

思路1 本来题目很简单，也有课本的现成背景，用一次诱导公式、一次倍角公式、一次特殊角的函数值，一共3个知识点便可得出答案

但是，有的考生却用了如下解法：

1?cos30o解 原式?sin(45o?30o)

2?2?3(sin45ocos30o?cos45osin30o) 4?2?326?2 4?(6?2)2?3．

8至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体上看，有解题方向调控上的策略性错误．（参见例0-9）

例2-13（1）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度为_____（精确到0．1m）．

（1993年数学高考全国卷理科第（20）题）

（2）tan20?tan40?3tan20tan40的值 ． （1996年数学高考全国卷理科第（18）题）

讲解 第（1）题易得高为103，第（2）题易得三角式的值为tan60?3．这两道题目都有3，但第（1）题规定了精确度，要化为近似值103?17.3m（注：这是当年的答案，既要“恰好照亮整个广场”，又要用四舍五入法取“近似值”，并且恰好是不足近似值，题意和解法都有点“费解”）． 第（2）题没有规定精确度，不要擅自取近似值1．732，

oooo应保留3．另外，第（2）题得出tan60不能算最终结果，只算到这一步也是“会而不对、

对而不全”．

这两例三题还体现了填空题考查基础知识、基本技能的基本取向，它们都是课本的“双基”．而“化归为课本已经解决的问题”也应是最值得强调的基本思考．