填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(13)

第六节 猜想法

猜想是根据部分理由而得出结论的合情推理，一个完整的数学解题过程常常要经历“先猜后证”的两个阶段，猜想也是一种能力．解填空题除了要重点掌握好直接法，特例法，图解法外，也可辅以猜想法，主要形式有：特例猜想，归纳猜想，类比猜想等．当然，猜想结论是有风险的，当你不能用直接法等途径求解时，冒这样的风险是值得的．比如，在例2-27 中不会求“a4的最大值”，那猜想“S4?10,S5?15”可能会在取等号时使a4达到最大值，然后再找理由去证实猜想．

例2-56 cos2??cos2???120??cos???240?的值为． ．

2解 （猜想法）取特殊值??0，得原式=1?再取特殊值??60，得原式=猜想答案与?无关，填

113??． 442113?1??． 4423． 222（请自行用直解法求解）

例2-57 设?an?是首项为1的正项数列，且?n?1?an?1?nan?an?1an?0?n?1,2,则数列的通项公式是an? ． （2000年数学高考全国卷理科第（15）题）

2解法1 （猜想法）取n?1，有2a2由a1?1，有?2a2?1??a2?1??0，?a12?a2a1?0，

?,但an?0，得，a2?1． 21?1?，有?3a3?1??a3???0，但an?0，

2?2?22取n?2，有3a3?2a2?a3a2?0，由a2?得a3?1． 31． n猜想答案为an?说明 虽然猜想法不完全可靠，但却提供了特殊化的探索，若能根据求a2,a3的同样方法归纳出?n?1?an?1?nan?an?1an?0??就有机会获??n?1?an?1?nan???an?1?an??0，

22得完整解法．

解法2 (直解法)已知即 ???n?1?an?1?nan???an?1?an??0，

由正项数列得?n?1?an?1?nan?0??n?1?an?1?nan，即?nan?为常数列，有

nan??n?1?an?1? 得an??2a2?a1?1．

1． n例2-58 取长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的两个长方体，将它们两个全等的面重合在一起组成一个大长方体，则大长方体的对角线最大为 cm．

解法1 （猜想法）估计大长方体最长（5+5=10）时对角线也最长，有

d?102?42?32?55．

解法2 (直解法)当a?b?c?0时，有

?2a?2?b2?c2?a2??2b??c2?a2?b2??2c?，

22所以，d?102?42?32?55为最大对角线．

例2-59 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2-31所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．

图2-31

（2007年数学高考湖南卷理科第（15）题）

解 （猜想法）给上述杨辉三角续写两行：

可见

（1）第3行有4个1；

（2）从第3行起，增加第一个2行，则该两行之间就增加2个1；增加第二个2行，则该两行之间就增加2?4个1；所以到第7行时会有4+4=8个1；

（3）但是第7行恰有8个数，故第7行全为1； （4）由第1，3，7 行全为1，猜想第2?1行全为1；

（5）假设第2?1行有2个1，增加2行后，会得出2?2?2k2nkkkkk?1个1，但第

?2k行恰有2k?1个数，故第2k?1?1行全为1． ?1??2k?2k?1?1所以，第n次全行的数都为1的是第2?1行． 因为61?26?1?2，故第63行共有64个1，逆推知，第62行共有32个1，第61行共有32个1．

说明 第（5）步可以改写为严格的数学归纳法证明．

n??第七节 填空新题型

近年，高考常把填空题作为新题型的实验园地，体现多重选择、实际应用、开放探索（条件开放、结论开放）、信息迁移等特征的填空题时有出现． 2-7-1 实际应用型

从1993年开始，高考强调考实际应用性的问题，作为落实这一举措的初级阶段，应用型的题目主要以填空题的形式出现（最常见的是与排列组合有关），到1995年发展为解答题，并推进到“信息迁移题”的新阶段．解答应用性的题目要求我们从生产、生活的实际中，分析其中的数量关系，然后应用已有的数学知识加以解决，其完整的求解过程可以分为三步：

（1）阅读理解；

（2）进行数学化设计； （3）进行标准化设计．

当问题不太复杂时，可以直接进入第三步．

例2-60 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为______ （1993年数学高考全国卷理科第（22）题）

解 此题可转化为长方体中有关面积的计算．如图2-32，由于容 积和深度都是定值，因而底面积为定值4，造价也为定值120?4?480元．这时水池的造价与底面周长成正比，“面积取定值的长方形以正方形时周长最短”，因而最低造价的水池底面为正方形，长=宽=4?2m，

这时，长方体为正方体，总造价为80?4?4?480?1760（元）． 图2-32