填空题的求解思路、方法与技巧，非常全

第二章 填空题的求解思路、方法与技巧

填空题是一类古老的题型（古代科举中称为贴经），它与选择题、解答题一起组成当前高考试卷的三大题型，通常，填空题的题量（4～6题）和分值（占16～30分）都是高考三大题型中最低的，而难度则介于选择题与解答题之间（约为0．．但也有例外，上海的5强）高考数学卷一直是第一大题为11～14道填空题（2009年为14道），第二大题为4道选择题；2008年起，江苏高考的数学选择题取消了，填空题则由以前的6道增加到14道（总分70分，约占试卷总分160分的44%）；2009年起高中联赛不用选择题，这可以认为是一个信号：当前，在减弱选择题的同时，出现加强填空题的趋势——人们在重新认识填空题．

虽然填空题的平均难度只是中等，但在三大题型中却是最容易丢分的，一步思虑不周、一次细节疏忽、一个心理差错、甚至最后答案把

23写成都会导致“全题皆空”（参见例2-11、32例2-19-1，例2-48等）．求解填空题必须做到“结论正确、方法合理、过程简洁”，确保成

功率．本章首先分析填空题的结构和答题特点，然后介绍常用解法（如直接法，特例法，图解法，猜测法等），最后呈现填空题的一些创新形式．

第一节 解答填空题的策略分析

2-1-1 填空题的认识

1．基本认识．

（1）填空题的界定．

数学填空题通常是将一个数学真命题写成当中缺少一些语句的形式，要求答题者将删去的语句填写在指定的空位上，使之成为一个完整而正确的数学命题．

在一道填空题中，要求填写的部分可以是一处也可以是多处（如例2-2、例2-3等），但传统的高考填空题多是填题末的一个空，基本形式为“若A则_____．”

（2）填空题的分类．

从填写的内容看，主要有两类填空题：其一是定量型的，需要解答者去填写数值或数集（包括用字母表示的数），如方程或不等式的解集，解析式的运算结果，函数的定义域、值域（或最值）、周期，数列的通项与部分和，排列组合的种数，参变量的变化范围，几何图形中的长度，角度、面积等．其二是定性型的，需要解答者去填写具有某种性质的数学对象或数学对象的某些关系，比如，求二次曲线的轨迹方程、准线方程、焦点坐标、离心率，确定图形之间的全等、相似、平行、相交、垂直、相切，确定集合的子、交、并、补关系，判别命题的充要条件，确定非零向量的平行、垂直，确定数量之间的相等、不等关系等．高考填空题以定量型居多．

近年，高考常把填空题作为新题型的实验园地，体现多重选择、实际应用、开放探索、信息迁移等特征的填空题时有出现．（参见第七节）

2．重要提示

（1）答案可能多样．答题者要思考那个答案更切合题意，命题者要努力避免歧义． 当一个数学真命题删去当中的一些语句时，人们通常把“删去的语句”作为标准答案，但是，同一个数学前提，常常会有多个不同的数学结论，填上别的语句（非删去语句）也可能组成真命题（如例2-1，例2-2等）．比如

例2-1 命题“矩形的对角线相等”的逆命题为 ． 讲解 会出现两个答案：

第一，理解为写出逆命题，答“对角线相等的四边形为矩形”． 第二，理解为判别逆命题的真假，答“假命题”．

前者是出题人的原意，当然没错；后者不仅知道逆命题的内容，而且还正确判断了逆命题的性质（假的），也不算错．题目有歧义了．

例2-2 如图2-1所示，圆O的直径AB?6，C为圆周上一点，BC?3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC? ，线段AE的长为 ．

D （2007年数学高考广东卷理科第（15）题）

E C ?讲解 第一问的原意是计算∠DAC的度数，填30,（定l B 量型），但是有学生把“∠DAC?”理解为找与∠DAC相等A O 的角、答∠DAC??CAB（定性型），这还确实是成立的（但

．题目有歧义了． AB?6， BC?3等条件可以不用）

图2-1 第二问有AE?EC?CB?3，过程略．

对这两个例子，答题者要思考哪个答案更切合题意，命题者则要努力避免歧义．比如，为了体现原意可将例2-1 改为：写出“矩形的对角线相等”的逆命题 ．

（2）逆向问题易发散．答案要注意完整． 当一个数学真命题删去当中的一些语句时，有些填空会成为逆向问题，不能只找出命题成立的一个充分条件．

例2-3 将杨辉三角中的每一个Crn都换成分数的分数三角形

61，就得到一个如图2-2所示rn?1C??n 图2-2

称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

111??， rxr?n?1?Cn?n?1?CnnCn?1其中x? ．令an?1111????3123060?11?，则liman? ． 22n??nCnn?1C??n?1（2006年数学高考湖北卷理科第（15）题）

讲解 第一问对比杨辉三角的性质，通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一

行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，同义反复，即第n?1行上相邻两数之和等于上一行它们之间（肩膀上）的那个数：

111??．当把r?1删去变为rr?1rn?1Cn?1CnC??n??nn?1111??时，取x?r?1等式自然成立（命题者的答案，填上删去的rxr?n?1?Cn?n?1?CnnCn?1语句），问题是，莱布尼茨三角形每一行上的数字又是“首尾对称”的，因而

x?n?r?1?n?r?1?时等式也成立．填x?r?1只是等式成立的一个充分条件，填

．题目有歧义了． x?r?1或n?r?1?n?r?1?才是等式成立的充要条件（x的解集合）

上面只是一些直观的说明，下面我们来证实x确有两个取值（作为填空题，可以取n?3来求解）．第（1）问，由

111??，

?n?1?Cnr?n?1?CnxnCnr?11n?11??r xrCnnCn?1Cn得

???n?1?r!?n?r?1?!?r!?n?r?!n?n?1?!n!r!?n?r?1?!???n?1???n?r???

n!?r?1?r!?n?r?1?!?n!?r?1?!??n??r?1???!?1,?r?1n!Cnxr?1有 Cn， ?Cn得x?r?1或n?r?1?n?r?1?．

第（2）问由观察知，an是莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即

an?111???0123C24C35C4?11?． n?3n?2nCnn?1C??n?1根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项

1，则由每一行中的任n?1?n?1?Cn1，故 2一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为

an?11， ?n?12?n?1?Cn?1?11?． 从而 liman?lim??n?1?n??n??2n?1C??n?2?（3）如果一道填空题经完型之后仍不能成为真命题，通常是解答者的错误（见例2-4，

例2-5，例2-19-1，例2-48等），特殊情况下是命题者的疏忽（如例2-3、及例2-6～例2-10）．

例2-4 已知数列?an?的前n项和为Sn?3n2?2n?1，则通项公式为an? ． 解 由an?Sn?Sn?1?3n?2n?1??3?n?1??2?n?1??1??6n?1．

2??2??填6n?1．

说明 取n?1时，一方面代人Sn?3n2?2n?1有a1?6；另方面代入6n?1有

a1?6?1?1?5．这个矛盾是解题者使用公式不当造成的，an?Sn?Sn?1需在n?2的前

?6, n?1 题下才成立．正确答案是an??

6n?1,n?2?例2-5 已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?项公式为an? ．

解 由已知有

，则通??n?1?an?1（n?2）

an?a1?2a2?3a3?an?1?a1?2a2?3a3???n?1?an?1， ① ??n?2?an?2， ②

相减 an?an?1??n?1?an?1 …… 此处隐藏：2651字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……