填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(6)

第三节 直解法

就是直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式，法则等数学基础知识直接得出答案，然后按照要求将最后结果填入空位处．总体上，填空题的直解法更像求解解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤，大跨度前进．为了节省时间还可手算与心算相结合，力求快速，避免“小题大做”，从这一意义上说，填空题的直解法又像是选择题的求解对照法．

2-3-1 灵活运用基础知识

灵活运用基础知识是快速求解填空题、避免“小题大做”的基本途径，也是运用其它方法技巧的物质基础．

例2-20 已知函数f?x??a?1，若f?x?为奇函数，则a= ． x2?1（2006年数学高考全国卷文科第（14）题）

解法1 （直解法）因为f?x?为奇函数，所以f??x???f?x?，即

a?11， ??a??xx2?12?11?11?1?12x?11得 a??x??x???x?x??．填．

22?2?12?1?2?2?12?1?2解法2 （直解法）由f?x?是R上的奇函数有f?0??0，即

a?得a?1?0， 02?111．填． 22说明 解法1相当于用通法做了一道解答题，是解填空题中的“小题大做”，对本题

的这种处理费时费事，是不策略的．解法2利用了填空题的特点，心算即可完成，几乎没有运算量．

例2-21 若1?x?x?x?235??1?x?x2?x3??a30?a29x?5?a1x29?a0x30，则

a15? ．

解法1 （直解法）由

?1?x?x2?x35??1?x?x52?x35?2232? ??1?x?x?x????????55222?242465??? ??1?x??1?x???1?x??1?x???1?x?x?x?，

??????知展开式只出现x的偶次幂，所以，奇次幂的系数均为零，更有a15?0．

解法2 （直解法）设f?x??1?x?x?x2?35?,F?x??f?x?f??x?，则F?x?为偶

函数，有F?x??F?x??F??x?，可见，展开式中x的奇次项系数均为零，更有a15?0．

2例2-22 对a,b?R，记max?a,b????a,a?b,函数f?x??max?x?1,x?2?，

b,a＜b,?x?R 的最小值是 ．

（2006年数学高考浙江卷理科第（12）题）

解 （直解法）理解最大值记号max的含义，有

f?x??x?1,f?x??x?2，

??f?x??x?1,得 ? ①

??f?x??2?x,3相加，得f?x?不小于一个常数，当式①取等号时

23?x?1?,?1?2?x?, ?32?2?x?,??2所以，x?13时，取f?x?最小值． 22 说明 此例有更一般性形式：

minmax?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b??? ． maxmin?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b??? ．

已经在数学竞赛中多次出现，可以按照同样的步骤求解下面的练习．

例2-22-1 已知锐角ABC的三个内角满足A?B?C，用?表示A?B,B?C，以及90?A中的最小者，则?的最大值是____________． （2005年初中数学联赛）

例2-22-2 设a,b,c?R且a?b?c?1，求minmax?a?b,b?c,c?a?的值． （2001年北京高中数学竞赛）

例2-22-3 若a,b为正实数，求max?min?,,a2?b2??．

?????????11?ab????（2002年北京高中数学竞赛）

例2-22-4 若a,b为正实数，求max?min?a,,b????1?b1????的值． a??（2003年北京高中数学竞赛）

解 设x?min?a,,b??1?b1??，有 a??11??x?a,?0?x?a,??1??1 ???b,?0?x?,bx??11??0?x?b?,x?b?,??aa???x?11??x2?2?x?2， xx得 max?min?a,,b????1?b1?????max?x??2． a??例2-22-5 上面各例都是在f1?a,b??f2?a,b??f3?a,b??A时，有

minmax?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b???A，

或 maxminf1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b?由此能得出什么结论呢？

???????A．

ex?1例2-23 函数y?x的反函数的定义域是-______．

e?1（1989年数学高考全国卷文科、理科第（15）题）

解法1 （直解法）先求出反函数y?ln1?x1?x?0，得定义域，再解不等式

1?x1?x??1,1?．

说明 这种解法相当于做了一道解答题，是解填空题中的“小题大做”，对本例的这

种处理费时费事，是不策略的．

ex?1解法2 （图解法）求反函数的定义域可转变为求直接函数y?x的值域，记

e?1??ex?0，由

y?x?x?(?1)?(?1)?对比????x0?12

1??1??知，y分?1,?1为定比??0，因而??(?1,1)，即反函数的定义域为(?1,1)．

(?1)?(?1)ex说明 这种解法有数形结合的思想方法，可直接由y?而心算完成．

1?ex2ex2?y?1?x?1， 解法3 （特例法）由?1??1?xe?1e?1ex?1ex?1?1,limx??1 且 limxx???e?1x???e?1知y的值域为(—1，1)，即反函数的定义域为（—1，1）．

说明 后两种解法转化为求直接函数的值域，只要基本概念清楚，心算即可完成，几乎没有运算量．

例2-24 已知???1?3i2，求????1的值______． 2（1986年数学高考全国卷理科第（2）题）

讲解 把?代入????1硬算是比较麻烦的（巧算见解法2），实数求值中的“先化后代”、“整体求值”等技巧在这里也用得上．注意到

（1）条件是一个等式，结论是找一个等式，解题的方向是“从等式到等式”的等式变形．

（2）条件是?一的次式，结论是?的二次式，消除差异的一个方法是由条件式平方升次．

（3）条件有虚数单位i，结论没有，消除差异的技巧是隐去i，考虑到第（2）点，应想到用i的最本质特征i??1来隐去i．

解法1 （直解法）由已知有2??1??3i，

平方 4??4??1??3（隐去i并且?升次，消除第（2）、（3）中的差异）

即 ????1?0．填0． 解法2 （图解法）由已知得

1?cos0?isin0，

22224?4??isin， 332?2??2?cos?isin，

33??cos视这三个复数所对应的向量为单位圆上的三个共点力（如图2-12），它们两两夹角为

2?，其合力为0，即 图2-12 3?2???1?0．

说明 以上例子表明，直解法也是充满技巧的，关键是灵活运用基础知识、基本技能． 例2-25 直线l过抛物线y?a(x?1)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的

2线段长为4，则a?_______．

（1995年数学高考全国卷理科第（19）题）

讲解 （直解法）先作平移，使抛物线成为为标准方程．这既不改变a的值，也不改变通径的长（不变性），而对y?ax通径的长为4已经是课本的“双基”了．取x?有y?2,得

2a，422?aa?a?4． 4例2-26 如图2-13，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面为直角三角形，?ACB?90，

AC?6,BC?CC1?2，P是BC1上一动点，则CP?PA1的最小值是___________

（2006年数学高考江西卷理科第（15）题）

解 （直解法）将BCC1沿BC1展开到平面A1BC1内，连A1C（CP,PA1的长度不变），

由CP?PA1?AC当A1,P,C三点共线时A1C的长度就是所求的最小值．在A1C1C中， 1知，

AC11?AC?6,C1C?BC?2，

CA ?A1C1C??A1C1P??PC1C?90?45?135， B由余弦定理，得

PA1C1B122AC?AC111?C1C?2AC11C1Ccos135

?62?2?2622?52． 图2-13 2说明 在例2-24、例2-25中使用了平移、旋转来“化繁为简”，保持了图形的距离不变，体现了一种重要的数学思想——不变量． 2-3-2 体现数学思想方法

给例2-4增加x?0的条件后，反函数就存在了，可按下述步骤来求f（1）设f?1?1(0)：

(0)?x（设未知数）；

（2）得f(x)?0（找等量关系）；

（3）把已知代入，得指数方程（当年课本例题）4?2xx? …… 此处隐藏：1736字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……