填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(7)

（4）解方程得x?1

（5）由函数与反函数的关系f(1)?0?f?1(0)?1，填1．

?1这个解法以函数与反函数的关系为基础，把求反函数f方程4?2xx?1(x)的函数值f?1(0)，转化为

?0的求解（同时也将高考题转化为课本的例题），体现了“函数与方程的数

学思想方法”．从数学思想方法的高度去驾驭解题是巧思妙解基本源泉．在例2-24、例2-25

中我们已经见到过不变量的数学思想．

从高考考试大纲可以看到，高考重点考查7个基本数学思想：函数与方程的基本数学思想、数形结合的基本数学思想、分类与整合的基本数学思想、化归与转化的基本数学思想、特殊与一般的基本数学思想、有限与无限的基本数学思想、或然与必然的基本数学思想；重点考查7个基本解题方法：待定系数法、换元法、配方法、代入法、消元法、反证法、数学归纳法．这些思想和方法，本书时时处处都会作重点体现．

例2-27 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S4?10,S5?15，则a4的最大值为____． （2008年数学高考四川卷理科第（16）题）

思路1 （函数与方程的数学思想方法）若把求等差数列第4项a4的最大值，从单纯

的数列知识中跳出来，置于函数观点之下，则问题便转化为求函数的最大值．一般地，为了

确定函数的最大值，通常需要完成4件事：

（1）求出函数a4的表达式（用a1,d，或用S4,S5表示）； （2）确定函数表达式中有关字母的取值范围（由S4?10,S5?15提供）； （3）由以上两项具体放大a4为常数； （4）验证常数可以取到，得a4的最大值． 解法1 由

S4?a1?a2?a3?a4?4a1?6d,S5?a1?a2?a3?a4?a5?5a1?10d.

321S5,d?S5?S4． 5523131有 a4?a1?3d?S5?S4??15??10?4

5252可解得 a1?S4?当S4?10,S5?15时，a4可以取到最大值4． 填4． 说明 本解法的关键是得出恒等式a4?到．

31S5?S4，这也可以由待定系数法直接找52解法2 设a4?xS5?yS4，有

a1?3d?x?4a1?6d??y?5a1?10d?，

1?x??,??4x?5y?1?2得 ? ??36x?10y?3??y?.?5?所以 a4?3131S5?S4??15??10?4， 5252当S4?10,S5?15时，a4可以取到最大值4． 填4．

思路2 （数形结合的数学思想方法）这两个解法在函数与方程的观点驾驭之下，得心

应手地调动了等差数列的知识（通项公式、求和公式）、方程知识，以及待定系数法、放缩法等，其着眼点主要放在S4,S5上．如果我们的着眼点放在a1,d上，则a4?a1?3d可看成

?S4?10,?2a1?3d?5,平面直角坐标系a1Od上的直线，而已知条件?就是线性规划的??S?15a?2d?3?1?5约束条件，解法是现成的．问题已转变为线性规划．

解法3 建立平面直角坐标系a1Od，则??2a1?3d?5,为约束条件，a4?a1?3d为

?a1?2d?3目标函数．在坐标系上画出可行域（图2-14），可知当直线a4?a1?3d过可行域内?1,1?时截距最大，此时，目标函数取最大值a4?a1?3d?1?3?4.

说明 这个例子沟通了数列、函数、线形规划之间的联系，使得数学解题的过程成为沟通知识更广泛联系的过程，成为发生数学的过程．不应认为：解题仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”． 图2-14 2-3-3 洞察问题的深层结构

洞察问题的深层结构，是快速求解填空题、避免“小题大做”的重要途径．但是，怎样才能洞察问题的深层结构呢？我们说，进行解题过程的分析是一个很好的途径．