填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(2)

OA?OB?OC?0，得m可为全体实数．（有学生得出这样的答案）

说明 两种解法得出两个不同的结论有助于我们反思：或者是解法有问题、或者是题目有问题、或者是题目与解法都有问题．我们认为是题目与解法都有问题，谈两点认识

第一，题目有歧义．

如图2-5，取BC的中点M，则

OB?OC?2OM，且OMBC?0,AHBC?0．

有 OA?AH?OH?m(OA?OB?OC)?m(OA?2OM) 即 AH??m?1?OA?2mOM

得 AHBC??m?1?OABC?2mOMBC． 把OMBC?0,AHBC?0代入，得

0??m?1?OABC．

这时，对任意三角形有m?1，但当ABC为等 图2-5 边三角形时，外心、垂心、重心重合，有OABC?0，得m可为全体实数．这样，m的取值就有歧义了．

第二、解法有风险．

一般地，当题目本身没有提供“结论唯一”的保证时，用特例法解填空题是有风险的，这是特例法解填空题与特例法解选择题的重大区别．选择题有“4个选项中有且只有一项正确”做前提，用特例法排除3个诱误项后，得出剩下的项为所求是可靠的．而填空题仅当结论有唯一性时，特例法求解才是可靠的．

下面的修改可消解歧义，我们通过解法来揭示题目的知识背景．

例2-8-1

ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，若

OH?m(OA?OB?OC)对任意ABC恒成立，则实数m? ．

解 （欧拉定理背景）设ABC的重心为G，由欧拉定理有外心O、垂心H、重心G三点共线，且满足

OH?3OG．

又，三角形重心有

1OG?(OA?OB?OC))．

3得 OA?OB?OC?3OG?OH?m(OA?OB?OC)

对任意ABC恒成立，故m?1．

说明 由解法可知，题目的编拟有欧拉定理的知识背景． 例2-9 下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；

②底面是三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所组成的角都相等，且侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是_____．（写出所有真命题的编号） （2005年数学高考全国卷文科第（16）题）

讲解 命题者的预设答案为①、④．其中①的理由是：因为底面是等边三角形，侧面与底面所成二面角相等，故侧面三角形的高相等，由此推得三条侧棱相等，所以三侧面都是等腰三角形，并且三侧面全等．由正三棱锥的定义知这样的三棱锥是正三棱锥．

其实，填①是错误的，“侧面三角形的高相等”时，高线的垂足可以在侧面三角形的边上，也可以在边的延长线上，所以，上述证明还不能推出“三条侧棱相等”，反例如图2-6，即使

侧面为等腰三角形也不能保证三侧面 VA?AB?BC?VC?，A是全等的．

所以，本题经完型填④为真命题，而填①、④则为假命题． 图2-6

例2-10 已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且?POB?45．若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45，则二面角??AB??的大小是______． (2007年数学高考浙江卷理科第16题、文科第17题)