填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(8)

1?3?x?3的解是______． 例2-28 方程x1?3（1992年数学高考全国卷理科第（19）题、文科（21）题）

原解法 两边乘以1?3?0,得

?xxx?x 1?3?3?3?3?3?3?2?3?0． ①

xx两边乘以3，得关于3的二次方程

x2xxx 3?(3)?2?(3)?1?0?(3?3?1)(3?1)?0, ②

x两边除以3?1?0,得

x3?3x?1?0?x??1． ③

说明 这是一个很常规的解法，检验知答案也是对的，可以说已经达到了运算的“熟练、准确”的要求，若这一点都做不到是不行的．但学解题，停留在这一“小题大做”的层面上又是不够的．下面，让我们通过解题过程的分析来获得题目结构及其解法的更多理解，分析从解法的“整体分解”开始，可以得到３个步骤：

（1）运用同解原理处理分母（化整），将原方程化为①式； （2）运用同解原理处理负指数（消元），将原方程继续化为二次方程②式； （3）分解降次，归结为解简单指数方程③式，得x??1．

这就显化了原解法的思维过程，其中特别值得注意的是，第（1）步方程两边乘以

3x?1?0与第（3）步方程两边除以3x?1?0会不会是多余的思维回路？由于第（1）、（2）

两步的运算并没有依赖关系，完全是独立的，因而，交换解题顺序（搁置第（1）步）、先进行第（2）步应该不违反逻辑规则，让我们尝试对方程两边乘以3，有

x3x(1?3?x)xx?1?3?31?3 ， ④ ?x1?3用同底比较或两边取对数都可以立即得出方程的解．

可见，第（1）、（3）两步的思维回路是可以消除的，解题顺序的调整还真影响解题长度．并且，尝试的结果向我们展示了原方程左边结构上的一个特点，即分子、分母有相同的非零因

x?x式，可以相约；而导致相约的一个关键运算是3?3?1，据此，原解法的第（2）步也可

x以通过相反的运算（提取3）替换为方程的左边自行化简，有

1?3?x3?x(3x?1)?x??3 左边=，（分子提取后约分） ⑤ xx1?31?31?3?x1?3?x1或 左边=．（分母提取后约分） ⑥ ??xx?xx1?33(3?1)3?xx再一想，设y?3（或z?3），代入原式消除指数上的差异（亦即消元），也有同样

的效果（参见新解法2）．

于是，上面的简单分析已经颠覆了原解法的全部3个步骤，并可获得诸多收获，我们称为开发出“解题智慧”（其反面是存在“解题愚蠢”）：

（1）通过解题思维过程的结构分析，弄清了题目是怎样解的，化简是怎样进行的，运用了什么原理，使用了哪些方法，哪些地方体现了消元降次的基本数学思想．

（2）通过解题分析，找出了一个多余的思维回路．即第（1）步方程两边乘以3?1?0与第（3）步方程两边除以3?1?0是可以删除的，由④直接解出x??1，解题长度大幅度缩短了．

（3）通过交换解题顺序，揭示了这个具体方程的特殊结构．从试题编制的角度，可以

xx1?3x?1，得 将④、⑤、⑥理解为：由已知方程3?3出发，让左右两边分别乘以x1?3?x1?3x1?3?x?3??3． 31?3x1?3x?x1?3x?32x?更一般地，让3?3左右两边分别乘以

1?3x?32x??x?3nx?1，则得方程（个数推nx?3广）

1?3x?32x?

1?3x?32x??3?n?1?x?3?x?3． ?n?1?xnx?3?3这样，我们对方程的内在结构就看得更透了．

（4）通过删除多余的思维回路、或作运算关系的转换，可以得出更接近问题深层结构的新解法．就是说，不仅第（1）、（3）两步的回路可以删除，而且第（2）步本身也可以替换，先化为二次方程再降次亦是多余的，一步到位就能化成简单指数方程．如（途径很多，只写两个）

新解法1 分子提取3，原方程即

?x3?x(3x?1)?x?33?3?x??1． ?x1?3新解法2 消除负指数，原方程即

1x13?3?x??1． ?3?xx31?31?说明 这些新解法隐去了原解法的全部三个步骤，简单得心算就可以完成，但是新解法确实是源于原解法的专业分析．可以说，原解法更反映问题的一般性，而新解法则更体现题目的特殊性，它们各有自己的价值取向，都有自己的存在空间．解题学习应该经历从原解法到新解法的全过程，把“怎样解题”与“怎样学会解题”结合起来，过程与结果并重．

还要指出，如果说新解法1还有点技巧成分的话，那么新解法2已经具有一般性了．面对方程问题，消元降次是一种通理通法的思考，对原方程统一未知数：F3?x,3x?0?

G?3x??0，标准化为3?x或3x的一元方程，正是消元思想的运用．一般情况下，本来还应

该有后续的去分母步骤，但本例的特殊地方是恰好分子分母约分了，也就是“降次”的过程被自动完成了（原解法是分为第（1）、（3）两步骤来完成的），因此，新解法2可以认为是一般性与特殊性的自然结合．这个事实告诉我们，消元降次的不同途径与不同顺序，将导致解题的不同长度．

这个简单例子能帮助我们树立学数学的信心，即使我看不出分子分母能约分，我也有机会通过解题过程的分析而更接近问题的深层结构；即使我很笨，我也有机会通过解题过程的分析而学会聪明，并且聪明是由自己习得的． 2-3-4 大跨度直奔结论

例2-29 函数y?sinxcosx?sinx?cosx的最大值是_____． （1990年数学高考全国卷理科第（19）题）

??解法1 y?1???sin2x?2sin?x?? 24??1??????cos2?x???2sin?x?? 24?4??? ??????1???sin2?x???2sin?x???

4?4?2??????2???sin?x?????1,

4?2???当sin?x?2????1??1时，yman??2． 4?2解法2 设t?sinx?cosx????2sin?x??，t?2，则

4??t2?1sinxcosx?，

2t2?112y??t??t?1??1，

22当t?2时，yman?1?2． 2说明 如此处理这道题就有相当的难度了，由于填空题不需要过程，所以我们可以大跨度直奔结论．

解法3 只须找一个x，使

1y1?sinxcosx?sin2x,2???y2?sinx?cosx?2sin?x??,4??同时达到最大值．由于x?

?4时，y1,y2同时达到最大值，故yman?1?2． 2注意 不要擅自取近似值，得出1．914．

例2-30 正四面体ABCD的外接球半径为R，则各顶点到外接球的任一切面的距离之和为 ．

解 如图2-15所示，作正四面体的外接正方体，正四面体A?BCD中，E,F分别是线段AB,CD的中点，G是BCD的中心,O是正四面体A?BCD的外接球的球心, 则

E,O,F三点共线，且O为线段EF的中点．（O是正方体的中心，E,F分别是正方体上下