填空题的求解思路、方法与技巧，非常全(14)

例2-61 四个不同的小球放入偏号为1，2，3，4的四个盒中，则恰好有一个空盒的放法共有______种（用数字作答）．

（1995年数学高考全国卷理科第（20）题）

解 经过理解题意，我们将其转化为排列组合问题，并分两步完成．

第一步，将四个不同的小球分成三堆，各堆的球数只能是1，1，2，其中含有2个球的那一堆确定之后，另两堆也随之确定．因此，这是从4个元素中取2个元素的组合问题，有C4种分法．

第二步，将三堆的小球放入四个盒子中，这是从4个元素中取3个元素的排列问题，

23有A4种放法．由乘法原理，得C4A4?144．

332说明 排列、组合符号具有双重身份，有时表示运算，有时表示运算结果．本题要求用“数字作答”，所以必须计算出144来．有时考试为了控制运算量，也允许用排列、组合符号表示结果，总的原则是按题目要求运算到最后且最简单的结果．

例2-62 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t?0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d?_____，其中t??0，60?． （2007年数学高考江苏卷理科第（16）题）

解 点A在以5为半径的圆周上运动，射线OA第1秒转30时，AB?10sin?30，t秒转

?t30，当0≤t≤

?t60；当30

说明 解答本题的关键是把时钟问题抽象为数学问题（解三角形），要结合实际进行分

类，并用诱导公式．这样的题目能让人感悟到数学有用． 2-7-2 开放探索型

相对于条件充分和结论唯一的封闭性问题而言，条件或结论不明确、有待于进一步探索的问题，称为探索性问题或开放性问题．

例2-63 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a?A，都有aa；

（2）对称性：对于a，b?A，若ab，则有ba；

（3）传递性：对于a，b，c?A，若ab，bc，则有ac． 则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______． （2007年数学高考福建卷理科第（16）题）

讲解 本题是教材中的相等关系等的抽象，答案不唯一，如图形全等，图形相似，集合相等，非零向量的共线，命题的充要条件等都是答案．

例2-64 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f?x??3?log2x的图象与g?x?的图象关于 对称，则函数g?x?= ．(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形) （2005年数学高考福建卷理科第（16）题）

讲解 本题有很强的开放性．比如可以考虑填写：

①x轴，g?x???3?log2x； ②y轴，g?x??3?log2??x?； ③原点，g?x???3?log2??x?； ④直线y?x,g?x??2x?3．

等．关键是前后两个空必须匹配，组成真命题．

例2-65 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 ．(只需写出一个可能的值)．

（1999年数学高考上海卷理科第（12）题）

讲解 首先是选择好每个面的三条棱，根据“三角形中两边之和大于第三边”可以排除｛1，1，2｝，得到｛1，1，1｝｛1，2，2｝｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，四面体的六条棱中“1”可以出现1次、2次或3次，

图2-33

分别对应的四面体的体积为

111114,,，从中选择一个结论即可． 61212例2-66 在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C?B1D1．(填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)

（1998年数学高考全国卷理科第（18）题）

讲解 因为BD//B1D1，要A1C?B1D1只需A1C?BD，只需四边形

ABCD满足AC?BD即可．填任何能够推导出

AC?BD的条件都行，如ABCD是正方形、菱形等． 图2-34

例2-67 老师给出一个函数y?f?x?，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：

甲：对于x?R，都有f?1?x??f?1?x?； 乙：在(??,0]上函数递减； 丙：在?0,???上函数递增； 丁：f?0?不是函数的最小值．

如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数 ．

讲解 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可，但“任意三个条件”并不都是相容的，当乙、丙同时成立时，丁不成立；当甲成立时（x?1是函数图象的对称轴），丙不成立．所以“恰有三人说的正确”应是甲、乙、