2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(9)

(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) OP?OA?OB且OAPB为矩形，求直线AB方程.．

20．动圆M过定点A(－2，0)，且与定圆A′：(x－2)＋y＝12相切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求PE?PF的取值范围．

21．已知椭圆

x2y2??1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的a2b22

2

动点，满足|F1Q|?2a，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2＝0，|TF2|≠0．

(1) 设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a?x； (2) 求点T的轨迹C的方程；

(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b？若存在，求∠F1MF2

y 的正切值，若不存在，请说明理由． Q P

F1 O F2 x

2

ca 第 - 28 - 页 圆锥曲线单元测试题答案

1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (－2，

9x2－1) 13.?y2?1(y?0) 14. 9x－32y＋73＝0 15. ③④

1616. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示： 设双曲线方程为：

x2y2??1 a2b2y 依题意有：

c??e?a?2?1???S?PF1F2?|PF1|?|PF2|?sin60?123

2??|PF1|?|PF2|?2a??P 60° F2 x F1 0 解之得：a＝4，c＝16，b＝12

x2y2故所求双曲线方程为：??1

412222

17．解：(1) 设C(a,b),则R?3?a

?⊙C与⊙O内切，?a2?b2?1?3?a

?b2??4a?4即轨迹方程为y2??4x?4

22(2) 设Q(x0,y0)，则y0??4x0?4 2?PQ?(x0?m)2?y0?(x0?m)2?4x0?4??x0?(m?2)?

2?4m当m?2?1，即m??1时

PQmin??1?(m?2)?2?4m?xay?1 bm2?2m?1?m?1 当m?2?1，即m??1时，PQ?2?m min18．解：(1) ?(2) 由直线方程及抛物线方程可得：

by2＋2pay－2pab＝0

故 y1?y2?所以

?2pa,y1y2??2pa b11y?y1??12? y1y2y1y2b(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2

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则k1?y1y,k2?2. x1x22

2

当a＝2p时，知y1y2＝－4p，x1x2＝4p 所以，k1k2＝－1，即?MON＝90°．

19．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2) 则a＝F1M，b＝F2M，即

|a|＋|b|＝|F1M|＋|F2M|，即|F1M|＋|F2M|＝8 又∵ F1F2＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b＝12

y2x2所求轨迹方程为 ??1

16122

( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，

?y?kx?322

y1)，B(x2，y2)，则 ??(3k＋4)x＋18kx－21＝0 ?y2x2??1??1612x1＋x2＝－

18k?21 x12x2＝2 23k?43k?4y12y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9

3b?48k2＝

3k2?4∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB OA?OB＝0 ∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±所求直线方程为y＝±

5 45x＋3． 420．解：(1)A′(2，0)，依题意有|MA′|＋?＝23

?|MA′|＋|MA|

E ?y P(0, 2) ?M ?＝23 ＞22

∴点M的轨迹是以A′、A为焦点，23为长轴上的椭圆，∵a＝3，c＝2 ∴b＝1．因此点M的轨迹方程为

2

A(－2,0) A′(2,0) F x x2?y2?1 3x22222

(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入?y2?1，消去x得：(k＋3)y－4ky＋4k－3

3＝0

由△＞0得16k－(4k－3)(k＋3)＞0 ?0≤k＜1 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

4

2

2

2

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4k2?34k2则y1＋y2＝2，y1y2＝2

k?3k?3又PE＝(x1，y1－2)，PF＝(x2，y2－2) ∴PE2PF＝x1x2＋(y1－2)(y2－2) ＝k(y1－2)2k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)

?4k2?3?4k2?? ?2??4＝(1＋k)?22?k?3k?3??2

＝

9(k2?1)2???91??? 2k2?3?k?3??2?229?∵0≤k＜1 ∴3≤k＋3＜4 ∴PE2PF∈??3,?

解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为

?x?tcos?(t为参数，?为直线l的倾角) ?y?2?tsin??代入

x2?y2?1中并整理得： 32

2

(1＋2sin?)t＋12sin?2t＋9＝0 由△＝12sin?－36(1＋2sin?)＞0 得：sin?＞ 又t1t2＝

22

2

2

129

1?2sin2?∴PE2PF＝PE2PFcos0° ＝|PE|2|PF|＝t1t2＝

9

1?2sin2?129?由＜sin?≤1得：PE2PF∈?3,? ?2?2?21．(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y) 由P(x，y)在椭圆上，得

|F1P|＝(x?c)2?x2 b2222(x?c)?b?x ＝

a2F1 y Q P O F2 T x

＝(a?x)2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ca 第 - 31 - 页