2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(4)

（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM2kPN的值.

?b?a?3,?2?2a?1,?（1）解：依题意有：?c

?a2?b2?c2,??解得a2?1,b2?3.y2?1. 可得双曲线方程为x?32 （2）解：设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(?x0,?y0).

设P(xP,yP),则kPM?kPN2022yP?y0yP?y0yP?y0???2.2xP?x0xP?x0xP?x02y0又x??1,322所以y0?3x0?3,22同理yP?3xP?3,

所以kPM?kPN223xP?3?3x0?3??3. 22xP?x0x2?y2?1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C例4. 设双曲线C：2交于不同的两点P、Q。

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1P?A2Q?1，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设FA??FB，若

??[?2,?1],求|TA?TB|（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

解：（1）由题，得A1(?2,0),A2(2,0)，设P(x0,y0),Q(x0,?y0) 则A1P?(x0?2,y0),A2Q?(x0?2,?y0).

第 - 11 - 页

2222由A1P?A2Q?1?x0?y0?2?1,即x0?y0?3. ????① 2x02?y0?1. ????② 又P(x0,y0)在双曲线上，则2联立①、②，解得 x0??2 由题意， x0?0, ?x0?2.

∴点T的坐标为（2，0） ????3分

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y） 由A1、P、M三点共线，得

(x0?2)y?y0(x?2) ????③ ????1分

由A2、Q、M三点共线，得

(x0?2)y??y0(x?2) ????④ ????1分

联立③、④，解得 x0?2,y0?x2y. ????1分 x∵P(x0,y0)在双曲线上， 2()2∴x?(2y)2?1.

2xx2?y2?1 (x?0,y?0). ????1分 ∴轨迹E的方程为2（3）容易验证直线l的斜率不为0。

x2，代入?y2?1中，得 故可设直线l的方程为 x?ky?12(k2?2)y2?4ky?2?0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1?0且y2?0

则由根与系数的关系，得y1?y2??22k ??⑤

k?2y1y2??2. ??⑥ ????2分 k2?2y2∵FA??FB ∴有y1??，且??0. ，将⑤式平方除以⑥式，得

第 - 12 - 页

y1y24k214k2 ????1分 ??2??2????2??2y2y2?k?2k?2由??[?2,?1]??511?????2????2?0 2??14k222????2?0?k2??0?k2? ????1分

277.k?2∵TA?(x1?2,y1),TB?(x2?2,y2),?TA?TB?(x1?x2?4,y1?y2).

2k4(k2?1),?x1?x2?4?k(y1?y2)?2??2. 又y1?y2??2k?2k?2故|TA?TB|2?(x1?x2?4)2?(y1?y2)2

15(k2?1)24k216(k2?2)2?28(k2?2)?8 ??2?22222(k?2)(k?2)(k?2)?16?令t?288 ?222k?2(k?2)12711712.?0?k???t?[,]. ∴，即 22716k?22162k?2721722. ∴|TA?TB|?f(t)?8t?28t?16?8(t?)?4271169]. 而 t?[,]， ∴f(t)?[4,16232∴|TA?TB|?[2,132]. 821的双曲线C经过3变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为

点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，QA2?PA2?0。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

x2y2解（1）设双曲线C的方程为2?2?1?a?0,b?0?

ab 第 - 13 - 页

217a2?b272?e?,?e?,即?,333 a2b24?2?,① 3a又P（6,6）在双曲线C上，?3636??1 a2b2②

由①、②解得a2?9,b2?12.

x2y2??1。 所以双曲线C的方程为

912（2）由双曲线C的方程可得A1??3,0?,A2?3,0?,又P?6,6? 所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为y?k?x?2??2代入C的方程，整理得

?4?3k?x22?12k?k?1?x?12k2?2k?4?0??③

又设M?x1,y1?,N?x2,y2?,Q?x0,y0?x0?kPA2x1?x26k?k?1?8?k?1????;y?kx?2?2?.002223k?43k?4y08?1?k??2,kQA2??2. x0?33k?6k?1216?1?k???13k2?6k?12?QA2?PA2?0,?kPA2?kQA2??1,?整理得3k?10k?4?0 解得k?25?13 3④

2??4?3k?0由③，可得? 2????48?5k?8k?16?0??解得?46?446?423?k?,且k?? 5535?13 3⑤

由④、⑤，得k?

小结归纳 第 - 14 - 页

5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

第3课时 抛 物 线

基础过关

1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．

2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① y2?2px，焦点为 ，准线为 ． ② y2??2px，焦点为 ，准线为 ． ③ x2?2py，焦点为 ，准线为 ． ④ x2??2py，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对y2?2px(p?0)进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率e? ．

④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，P(xo,yo)是抛物线上一点，则PF? ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB＝ ，y1y2 ． ii) 若AB所在直线的倾斜角为?(??0)则AB＝ ． 特别地，当???时，AB为抛物线的通径，且AB＝ ． 2iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）． iv)

11为定值，且等于 ． ?|AF||BF| 典型例题 例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点A(?3,n)到焦点的距离为5，求抛

第 - 15 - 页