2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(5)

物线的方程和n的值．

解：设抛物线方程为y2??2px(p?0)，则焦点是F(?,0) ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5

?n2?6P故?解得P＝4，n??26 ?p22(?3?)?n?5?2?p2故所求抛物线方程为y2??8x,n??26

变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程． 解：因为对称轴是x轴，可设抛物线方程为y2?2px或y2??2px(p?0) ∵故抛物线方程为y2?24x或y2??24x

例2. 已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若AB?16，求直线l的方程． 3p?6，∴p＝12 2(2) 求AB的最小值． 解：(1)解法一：

设直线l的方程为：x?my?1?0 代入y2?4x整理得，y2?4my?4?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1?y2??4m 根据抛物线的定义知：| AB |＝x1?x2?2 ＝(1?my1)?(1?my2)?2?4(m2?1) 若|AB|?16163，则4(m2?1)?,m?? 333即直线l有两条，其方程分别为：

x?33y?1?0,x?y?1?0 33解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝

2P3(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±， 2sin?2即直线AB的斜率k＝tanθ＝±3， 故所求直线方程为：

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x?33y?1?0或x?y?1?0. 33(2) 由(1)知，|AB|?4(m2?1)?4 当且仅当m?0时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝

2P4＝2 2sin?sin?∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)

变式训练2：过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（ ）

2

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 解：B

例3. 若A(3，2)，F为抛物线y2?2x的焦点，P为抛物线上任意一点，求PF?PA的最小值及取得最小值时的P的坐标．

解：抛物线y2?2x的准线方程为x??

过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |

要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|＋|PF|的最小值为3??此时P的坐标为(2，2)

1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 答案

2

D．不存在

12127 217 2

2

变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x?2y(0?y?20)，在杯内放入

一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解：0?r?1

例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

2

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∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于

2y1＝y2?x12?x2?(x1＋x2)(x1－x2)＝0

∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0

即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m

所以x1、x2满足方程：2x＋x－m＝0

且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝

x1?x21?? 282

121214141 32y0＝－x0＋m＝

由N∈l得：于是b＝

121＋m 1611＋m＝－＋b 1645519＋m＞－＝

323216169，＋?) 322

即l在y轴上截距的取值范围是(

变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y＝x上，求正方形的面积．

设C、D的坐标分别为(y1，y1)，(y2，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1． ∴

y1?y2y1?y22222

＝

1＝1，即y1＋y2＝1 ① y1?y2又| CD |＝1?k2|x1?x2|＝2|y1?y2| ＝2(y1－y2) | BC |＝

|y12?y1?4|2?y12?y1?42(y1－y1＋4恒正)

2y12?y2?42

由| CD |＝| BC |，有2(y1－y2)＝解①、② 得 y1＝2或y1＝3

2 ②

当y1＝2时，有| BC |＝32，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝52，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50．

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小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． …… 此处隐藏：475字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……