2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(7)

例2. 已知双曲线方程2x－y＝2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；

(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解：(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有关系x1?x2?4,y1?y2?2．又据对称性知x1?x2，所以

y1?y2是中点弦P1P2所在直线的斜率，由P1、P2在双曲线上，则有关系x1?x222

22222x1?y1?2,2x2?y2?2．两式相减是：

2(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0

∴2?4(x1?x2)?2(y1?y2)?0 ∴

y1?y2?4 x1?x2所求中点弦所在直线为y?1?4(x?2)，即4x?y?7?0．

(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0 方法同(1)，联立方程???2x2?y2?2，消去y,得2x2?4x?3?0

??2x?y?1?0然而方程的判别式??(?4)2?4?2?3??8?0，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．

变式训练2：若椭圆

x2y2??1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） 369A．2 B．－2 C． D．－ 解：D

例3. 在抛物线y＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 解法一：设B、C关于直线y?kx?3对称，直线BC方程为x??ky?m，代入y2?4x得，

y2?4ky?4m?0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC中点M(x0,y0)，则y0?2

1312y1?y2??2k,x0?2k2?m 2∵点M(x0,y0)在直线l上，∴?2k?k(2k2?m)?3 ∴m??2k3?2k?3k3?2k?3(k?1)(k2?k?3)，代入??16k2?16m?0，得?0，即?0 kkk解得?1?k?0

2??y1?4x1解法二：设B(x1,y1)，C(x2,y2)关于l对称，中点M(x0,y0)，则?

2?y?4x2?2 第 - 21 - 页

相减得：(y2?y2)(y1?y2)?4(x1?x2) ∴2y0?(?)?4,y0??2k，则x0?1k?2k?3 k2∵M(x0,y0)在抛物线y2?4x内部，∴y0?4x0

k3?2k?3(k?1)(k2?k?3)化简而得?0，即?0，解得?1?k?0．

kk变式训练3：设抛物线x2?12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则AF?BF? . 解：8 例4. 已知椭圆

x2a2?y2＝1(a为常数，且a>1)，向量m＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且

以m为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

y 12

B

解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，

?y?t(x?a)?由?x2 得(a2t2?1)y2?2aty?0 2?2?y?1?aA O C x

∴ y＝0或y＝

2at at?122∴ 点B的纵坐标为yB?2at at?122∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|2yB ＝

2a2t(t?0,a?1) a2t2?18t4t?11t2(2) 当a＝2时，S(t)＝＝

814t?t

∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥24t?＝4 当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立. ∴ S(t)＝

84t?1t1t12121t≤＝2

84即S(t)的最大值S(t)max＝2

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x2y2变式训练4：设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于

abAF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且AP? （1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

8PQ 5x?3y?5?0相切，求椭圆C的方程.

解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知FA?(c,b),AQ?(x0,?b)

y A P F O Q x b2?FA?AQ,?cx0?b?0,x0??2分

c28b258,y1?b?? 设P(x1,y1),由AP?PQ，得x1?13c1358b225()(b)213c?13?1?? 因为点P在椭圆上，所以

a2b21222

整理得2b=3ac，即2（a－c）=3ac，2e2?3e?2?0,故椭圆的离心率e＝??

2

b23⑵由⑴知2b?3ac，得?a；c22又c11?，得c?a， a2231

于是F（－a，0）， Q(a,0)

22△AQF的外接圆圆心为（

11

a，0），半径r=|FQ|=a???

221|a?5|所以2?a，解得a=2，∴c=1，b=3，

2x2y2??1 所求椭圆方程为43小结归纳 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．

2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐

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标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验． 3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．

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圆锥曲线单元测试题

一、选择题

1． 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是 （ ）

x2y2A．??1

4312

x2y2B．??1

34y2?1 4C．

x2 ?y2?1

4 D．x2?2

2． AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ） A．2 C．

32

B．

5212

D．

x2y22

3． 若双曲线?2?1的一条准线与抛物线y＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）

8bA．2 C．4

B．22

D．42

2

4． 已知抛物线y＝2x上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）

A． B． C． 2 D．3 5．已知双曲线x2

125232y2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2＝0，则点M到x轴的2距离为 （ ） A． B． C．

23 D．3 343536．点P(－3，1)在椭圆

x2a2?y2b2?1(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为a＝(2,－5)的光线，

经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 A．C．

13 B．

33 （ ）

12 D．

22x2y27． 椭圆??1上有n个不同的点：P1，P2，?，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公

43差大于

1的等差数列，则n的最大值是 100 （ ）

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