2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(6)

3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质． 基础过关

1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）

2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，

第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系

y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————．

利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆

x2y2??1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为a2b2?x12y12??1??a2b2y?yy?yAB的中点，则 ?两式相减可得12?1222x1?x2x1?x2?x2?y2?1??a2b2

即 ．

对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．

典型例题 ??b2a2

例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x－y＝1相交于A、B两点．

(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？

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(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立?2

?1y ?消去22?y?ax? (3－a)x－2ax－2＝0 ① 22?3x?y?1?显然a≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：

???4a2?8(3?a2)?0???6?a?6? ???2?0??2?a??3或a?3?a?3?a∈(－6，－3)∪(3，6)

若A、B分别在双曲线的两支上，则有：

?4a2?8(3?a2)?0??a∈(－3，3) ?2?0?2?a?3(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝＝

2a． a2?32

2a，x1x2

3?a2∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋ax1x2＋1 ＝a2

2

22a＋a2＋1＝1 a?33?a22∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴此时△＞0，符合要求．

2＋1?a＝±1 a2?3变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解：联立方程为??y?(a?1)x?12?y?ax2

?x?1 ?y?0(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 ?(2) 当a≠0时，消去x得① 若② 若得1＋

a?12y?y?1?0 a?x??1a?1＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解? ay??1?a?1≠0，即a≠－1，令△＝0 a4(a?1)4?0，解得a＝－ a5此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．

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