2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线

圆锥曲线与方程 考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．

知识网络 椭圆 椭圆定义 标准方程 a、b、c三者 间的关系 几何性质 第二定义 几何性质 圆锥曲线双曲线 双曲线定义 标准方程 统一定义 第二定义 抛物线 抛物线定义 标准方程 几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

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4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时 椭圆

基础过关 1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e，且

e? 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：

a2? )x2a2?y2b2?1，其中( > >0，且

(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对

x2a2?y2b2y2a2?x2b2其中a，b满足： ．?1，

?1,a > b >0进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．

(4) 离心率：e? ( 与 的比)，e? ，e越接近1，椭圆越 ；e越接近0，椭圆越接近于 ．

(5) 焦半径公式：设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则

PF1? ，PF2?2a?PF1= 。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r1＋r2＝2a(2) 余弦定理：r12＋r22－2r1r2cos?＝(2c)

2

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(3) 面积：S?PF1F2＝r1r2 sin?＝22c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?)

1212典型例题 x2y2变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，

ab求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.

∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=

11|PF1|??2(a?r)?a?r.22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

2例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F过F1与抛物线y??4x的焦点重合，1的直线l与

椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，

CDAB?22．（1）求椭圆的方程；

（2）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

??????????（3）求F2A?F2B的最大值和最小值．

解：（1）由抛物线方程，得焦点F1(?1,0)．

x2y2设椭圆的方程：2?2?1(a?b?0)．

ab?y2??4x解方程组? 得C（-1，2），D（1，-2）．

x??1?由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴

|FC|CD|221|， ∴A(1,??22，|F1A|?) ． ????2分

|F1A||AB|2211??1又a2?b2?c2?1，22a2b∴

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因此，

11??1，解得b2?1并推得a2?2． 22b?12bx2?y2?1 ． ????4分故椭圆的方程为2（2）?a?2,b?1,c?1，

?圆过点O、F1，

1?圆心M在直线x??上．

21设M(?,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

2∴r?(?)?(?2)?123.22由OM?r,得(?)?t?1223,解得t??2. 219?所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?.??????????8分

24（3） 由点F,0),F2(1,0) 1(?1①若AB垂直于x轴，则A(?1,22),B(?1,?)， 22??????2????2 ?F2A?(?2,),F2B?(?2,?)，

22??????????17 F2A?F2B?4??????????????????9分

22②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为 y?k(x?1)

由?y?k(x?1)2222 得 (1?2k)x?4kx?2(k?1)?0 22?x?2y?2?0????8k2?8?0，?方程有两个不等的实数根．

设A(x1,y1)，B(x2,y2).

4k22(k2?1)x1?x2??, x1?x2?????????????11分 221?2k1?2k 第 - 4 - 页

?F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2)

F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k2(x1?1)(x2?1)

?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2

2(k2?1)4k222?(k?1)(?)?1?k ?(1?k) 221?2k1?2k27k2?179 = ??2222(1?2k)1?2kk2?0,1?2k2?1,0?1?1

1?2k277?F2A?F2B?[?1,]，所以当直线l垂于x轴时，F2A?F2B取得最大值

22当直线l与x轴重合时，F2A?F2B取得最小值?1

变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围；

????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与?????MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c …… 此处隐藏：1715字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……