2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线(3)

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第2课时 双 曲 线

基础过关

典型例题 第 - 9 - 页

例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.

解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC?=1332 (m)，BB?=2532 (m).设双曲线的

x2y2方程为2?2?1 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.

ab252(y?55)2132y2?1,2?2?1. 因为点B、C在双曲线上，所以2?12b212b

?252(y?55)2??1 (1)?225?12bb 解方程组?由方程（2）得 y?（负值舍去）.代入方程（1）

2212?13?y?1 (2)22?b?125b?55)225212得化简得 19b+275b－18150=0 （3） ??1,2212b2(x2y2??1. 解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：

144625例3. ?ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC?4，且sinC?sinB?sinA，求顶点A的轨迹方程．

解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为BC?4，所以B(?2,0)，

c(2,0)．利用正弦定理，从条件得c?b?121?4?2，即AB?AC?2．由双曲线定义知，点A的轨2迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为x2?y2?1(x?1)． 3x2y2变式训练3：已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?3x，两条准线

ab的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

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