新高中数学导数及其应用(9)

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（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若满足

解：

关系，从而达到求解目的。

成立，则二次函数值域必

（Ⅰ）由得或。 ∵ ∴（舍去） 则，，变化情况表为： 0 — ↘ 0 + ↗ 1 因而当时为减函数；当时为增函数； 当 时，的值域为； （Ⅱ） 因此，当时

因此当时为减函数，从而当时有

又，即当时有

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任给，，存在使得

则

由（1）得或，由（2）得 又 故的取值范围为。 5已知，函数 （1）当为何值时， 取得最小值？证明你的结论； （2）设 在上是单调函数，求的取值范围。 解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求由（Ⅰ）

在

，解

的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（Ⅱ）

，因此只要

上单调，而

即满足题设条件，从中解出的范围。

解答：（Ⅰ）

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令则

从而

，其中

当变化时,，的变化情况如下表 ∴ 当 而当 ∴当 + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 在时时处取得极大值，，处取得极小值 在，当为减函数，在时 为增函数 ，且时时在取最小值； 上为单调函数的充要条件是 （Ⅱ）当 ，解得 综上，在上为单调函数的充要条件为, 即的取值范围为）

6.已知 （Ⅰ）当

，函数时，求使

。

成立的成立的的集合；

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（Ⅱ）求函数

答案： （Ⅰ）｛0，1，

｝ 在区间

上的最小值。

（Ⅱ） 解答： （Ⅰ）由题意， 当 当时时, ,解得，解得｝ 或 ， 综上，所求解集为｛0,1,1+ (Ⅱ)设此最小值为m ① 当时，在区间［1，2］上，， 因为 则 ② 由 ③ 当

知

是区间［1，2］上的增函数，所以时，在区间［1，2］，；

）， 时，在区间［1，2］上，

如果 从而

在区间（1，2）内，

；

在区间［1，2］上为增函数，由此得

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如果则。

当时，，从而为区间［1，］上的增函数；

当 因此，当时，

时，，从而

或为区间［，2］上的减函数

。 当时，故 当时. 综上所述,所求函数的最小值 7、 (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数满足 求的最小值; ，证明。 解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出

，解

得，再判断与时的符号，确定

到

为极小值点，也是函数的最小值，过渡是难点。

对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由