新高中数学导数及其应用(10)

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解答：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）

令

当时，f′(x)<0,∴f(x)在区间是减函数； 当时，f′(x)>0, ∴f(x)在区间是增函数。 ∴f（x）在 时取得最小值且最小值为 (Ⅱ)用数学归纳法证明 （i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立； (ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 满足 当n=k+1时，若正数,则满足 令 则 由归纳假定知

,为正数，且 ①

同理，由

综合①、②两式

,可得

≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ②

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≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1).

即当n=k+1时命题也成立。

根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

8函数

， （Ⅰ）用 （Ⅱ）证明：当 时, 、、表示m； 在区间

是曲线内可导，导函数

在点是减函数，且

，设

处的切线方程，并设函数 （Ⅲ）若关于x的不等式求b的取值范围及a与b所满足的关系。 解答： （I） 即 因而 (Ⅱ)证明：令 因为 所以 因此

（Ⅲ） 解法一：

是

递减，所以，则递增,因此，当； 在点处的切线方程为 在上恒成立，其中a、b为实数， 时，；当的最小值为0

时，， 唯一的极值点，且是极小值点，可知0即

；

是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。

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，即对任意成立的充要条件是

，

另一方面，由于满足前述题设中关于的条件，

利用(Ⅱ)的结果可知，的斜率不大于， 该切线的方程为：的充要条件是：过点与曲线相切的直线

， 于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在 ① 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即为的取值范围，①式即为实数与所满足的关系。 （Ⅲ） 解法二： ，即是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 对任意成立的充要条件是