新高中数学导数及其应用(3)

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（II）求

在定义区间端点处的函数值

，

；

（III）将小值。

的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最

引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （I）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）； （II）计算并比较大值与最小值。 （3）最值理论的应用 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最 解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为： （I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系； （II）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点

满足

，并且

在点

处有极大（小）值，而所给

实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题

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例1、设函数

在点

处可导，且

，试求

（1）；

（2）； （3） ； （4） （为常数）。 解：注意到 当） （1）

（2）

；

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=A+A=2A

（3）令，则当时，

∴ （4）

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点评：注意增量

的形式是多种多样的，但是，不论

的本质，在这一定义中，自变量x在选择哪一种形式，相应的

处的

也必须选择相应的形

式，这种步调的一致是求值成功的保障。

若自变量x在处的增量为，则相应的，

于是有； 若令 例2、 ，则又有 （1）已知，求； （2）已知 解： ，求 （1）令，则，且当时，。

注意到这里

∴

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（2）∵

∴ ① 注意到， ∴由已知得 ② ∴由①、②得 例3、求下列函数的导数

（1）

； （2）；

（3）； （4）；