新高中数学导数及其应用(4)

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（5）

解：

； （6）

（1） （2）， ∴ （3）， ∴

（4），

∴

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（5），

∴

（6） ∴当时，； ∴当时， ∴ 即 。 点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。 例4、在曲线C：C关于该点对称。

解：

上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线 （1）

∴当时，取得最小值-13

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又当时，

∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

（2）证明：设

为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为

且有 ① ∴将代入的解析式得 ， ∴点坐标为方程的解 ∴ 注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线

求证：两曲线在公共点处相切。

，其中，且均为可导函数，

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证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，

设上述两曲线的公共点为，则有

，，

∴ ，

∴， ∴， ∴ 于是，对于有； ① 对于，有 ∴由①得 ， 由②得

∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等， ∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。

②

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例6、

（1）是否存在这样的k值，使函数

递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

在区间（1，2）上

（2）若 解： 恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。

（1） 由题意，当时，当x∈(2,+∞)时， ∴由函数的连续性可知， 即 整理得 解得 验证： 或 （Ⅰ）当时，

∴若

，则；若，则，符合题意；