新高中数学导数及其应用(11)

令

。

，于是对任意成立的充要条件是

由 当

时，

得

；当

时，

，所以，当

时，

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取最小值。因此成立的充要条件是，即

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式②

有解，解不等式②得③

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。 点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（Ⅰ），曲线， 即在 ∵ ∴ 由递减 ∴， 则 所以

是

的极值点，且为极小值点， 极小值为

，即

，则递增，则当，因而时恒成立，构造函数 ∴ 时，当时， 则；对（Ⅱ）即证明 在点处切线斜率为，切线方程为恒成立，

因而

；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。

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9．设点和抛物线其中

由以下方法得到：

上，点

到

的距离是

到

，点在抛物线

在抛物线

到

上点的最短距离。

上点的最短距离，…，点

到

的距离是

上，点

（Ⅰ）求 （Ⅱ）证明 解答： （Ⅰ）由题意得 设点 则 令 则 由题意得： 即 又 解得 故

（Ⅱ）设点 则 令

是

上任意一点。

方程为：

在上，∴

是上任一点 是等差数列。 及的方程；